对一道习题解法的探寻及推广

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中　沈岳夫



对一道习题解法的探寻及推广

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中沈岳夫

一、试题呈现

题目如图1，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC= 120°，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长.

图1

本题的阅读量较小，条件清晰，但对学生的思维能力要求较高.笔者细研此题，发现此题切入点多，方法多样，给学生留有较大的思维空间，使得学生的解答可以呈现出众多创新方法.现把此题的几种解题思路整理成文，以期待同行的指正.

二、解法探寻

1.追本溯源

笔者仔细研究此题发现，构成这道试题的基本素材在浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第2章“特殊三角形”中有相应的例题和习题.

题源1如图2，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，则△ABC是等腰三角形吗？证明你的判断.

图2

图3

题源2如图3，在△ABC中，AB =AC，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E，且∠CDE=25°.求∠A，∠B的度数.

上述两道题目所呈现的是“角平分线+平行线→等腰三角形”这一基本图形，只要题目中出现其中两个相关条件就可以通过推理得到另外一个基本图形相关结论.学生如果找到了解决问题的源泉，那么，解决例题就会得心应手，思路就会自然产生.

2.解法探寻

思路1：抓住60°的特殊角，从构造相似的基本图形入手.

如图4，过点C作CE平行AB，交AD的延长线于点E，则∠BAE=∠AEC.因为AD平分∠BAC，∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=∠AEC=60°，所以△AEC是等边三角形，所以AE=EC=CA.因为CE∥AB，所以△CDE∽△BDA，所以，即，解得AD=2.

图4

图5

说明：此解题思路源于对题源1、题源2的一种经验积累的“喷薄”，通过添加辅助线，既产生了相似三角形（△CDE∽△BDA），又产生了特殊三角形（等边△AEC），这样方便与题目中的条件建立了联系，问题得以解决.当然，添平行线的方法有很多种，如作出图5、图6中的平行线也能得解，有兴趣的读者不妨试试.这些解题思路是几何证明中一种常用的通性通法，应当予以重视.

图6

图7

思路2：利用角平分线性质，从面积“算两次”的角度入手.

如图7，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F，再过点C作BA的垂线，交BA的延长线于点H.因为∠BAC= 120°，所以∠CAH=60°，所以在Rt△ACH中，易求CH=.由角平分线性质，易知DE=DF.因为S△ABD+S△ACD=S△ABC，所以，可得所以在Rt△ADE中，AD=，解得AD=2.

说明：此解题思路是通过添辅助线，由特殊三角形得到相关的线段长，然后对同一个三角形的面积“算两次”，这种思想方法架起了线段之间的关系，最终求出线段AD的值.可见，思之愈深，方法越多.总之，灵活运用面积这一“工具”，也是一种有效解决问题的方法.

思路3：利用角平分线性质，从构造特殊三角形及相似入手.

如图8，过点C作AD的垂线，垂足为F，再过点B作AD的垂线，垂足为E.因为AD平分∠BAC，所以由△BDE∽△CDF，易得在Rt△ABE中，易求AE=3.同理，可求设DF=x，则DE=2x.因为，所以所以AD=AF+DF=

图8

说明：此解题思路是学生利用课外知识“角平分线分线段成比例”而获解，显得简捷、明了.由此可见，一些优秀学生通过自学、吸收、内化，积累一些先进的“武器”，为自己擅长的方式构思或寻求解决问题的方法贮存能量，是一种经验的“喷薄”，做到该出手时就出手，同时也为后续的学习蕴足了动力.

思路4：利用熟悉图形积累的经验，从向外构造相似图形入手.

我们先看一类常见的、熟悉的图形，这些图形都是以△ABC为“母体”向外作相似图形，如图9向外作等边三角形、如图10向外作正方形、如图11向外作等腰直角三角形等.

图9

图10

图11

如果学生能从平时积累的解题经验中，检索出此类图形，那么添加辅助线自然会水到渠成.基于这种思路，可有下列解法.

如图12，过点C作CE平行AD，交BA的延长线于E点，过点B作BF平行AD，交CA的延长线于F点.由题意，易知△ACE、△ABF都是等边三角形，所以CE=AC=3，BF=AB=6.由△BAD∽△BEC，得①；由△CAD∽△CFB，得②.由①+②得，所以即，解得AD=2.

图12

说明：此解题思路是源于学生从遇到过熟悉的相似图形（或基本图形）入手，展开联想，从常见的基本图形中找到了创造之源，找出了问题“条件”与“结论”之间的内在联系.由此可见，探寻正确解法的思路是“有规可依”“有序可循”：那就是从分析题目的已知条件入手，看看条件能想到什么？看看所求需要什么？并以知识关联的远近为顺序，先从与题干知识关联程度近的知识点切入思考，当发现走不通，再换与题干知识关联程度相对较远的知识点着手探究，直至找到正确解法.”

3.同类强化题

亲爱的读者，你看了以上的几种解法，是不是产生了一种跃跃欲试的冲动，那你就动起笔来，思考、挑战一下下面的拓展题吧.

（1）（2013年乌鲁木齐卷）如图13，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5，AC=2，则DF的长为_____.

图13

图14

图15

（2）（2015年无锡卷）如图14，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于_____.

（3）（2014年武汉卷）如图15，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为_____.

4.引申推广

著名的数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生.当我们解题成功时，不要忘记提出新的问题，因为还有许多宝藏尚未开发出来.”教师解题不能局限于低效的就题论题的解题习惯，教师若能深入领悟典型题目的编写意图，进行“一题多法的探索、一题多问的发散、一题多变的尝试、多题归一的收敛、多题归一的提炼”的二度开发，这本身就是对解法之间的联系、解题方法本质的深度挖掘，努力追溯问题背景及一般的结论，臻于知其然的化境.

推广：如图16，在△ABC中，AB =m，AC =n，m＞n，∠BAC=θ，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长.

图16

解析：如图16，过点D分别作DE平行AC、DF平行AB，交AB、AC于E、F两点，连接EF，交AD于点O，则四边形AFDE是平行四边形.由题意，易知∠EAD=∠FAD= ∠ADF，所以AF=DF，所以四边形AFDE是菱形.由此可知，EF⊥AD，且互相平分.由DF∥BA，可得，即，解得.因为AD平分∠BAC，∠BAC= θ，所以所以在Rt△ODF中，AD=2DO=2DF·

前面梳理了4种解题思路，实际上此题的解法还不止这些.当学生对某些知识点、某些基本图形理解的较为深入时，就会首先考虑到较简洁的解法.例如，当对相似三角形的基本图形理解较为深入时，就会选思路1；若对“面积法”运用较为灵活时，就会选择思路2；若对“角平分线性质”较为熟练时，就会选择思路3；若对“常见图形”积累到一定程度，并能提炼解题经验时，就会选择思路4.

可见，在平时的教学中，教师若能选取类似本文提到的这样的好题，留给学生足够的时间思考，给学生提供展示自己想法的机会，并组织学生对不同思路进行适当的比较和讨论，学生就能自然地把题目涉及的基本图形的基本性质等相关知识加以联系，构建成一个整体，达到灵活应用数学知识的程度.这样做，会比机械地重复做大量的训练题目的效果要好得多.进行类似于此题的“一题多解”的教学，不仅有利于学生掌握基础知识，提高解题能力，而且也有利于开阔学生的视野，有效地培养学生思维的广阔性和灵活性，提高学生的综合应用水平.

参考文献：

1.王晓峰.对一道习题解法的再思考［J］.初中数学教与学（初中版），2016（3）.

2.汪宗兴，李道华.借助典型试题加强回顾反思［J］.中学数学（下），2015（7）.

3.沈岳夫.善归类细分析悟通法促提高——对一类“共顶点等腰直角三角形”型试题探微［J］.中国数学教育（初中版），2014（12）.

4.沈岳夫.对一道中考填空题的方法探究［J］.中国数学教育（初中版），2015（9）.H