对一道错题的修改与拓展

江苏省丹阳高级中学　(212300)　史建军



对一道错题的修改与拓展

江苏省丹阳高级中学(212300)史建军

问题设f(x)为R上的奇函数，且满足：

f(x+2)=-f(x)，若f(2)=3，则f(6)的值为：.

这是我校高一数学期中复习讲义上的一道题，学生在解本题时给出了以下两种方法：

解法一：∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+2)+f(x)=0①,∴f(x+4)+f(x+2)=0②,①-②得f(x+4)=f(x),∴T=4,f(6)=f(6-4)=f(2)=3.

解法二：同上可得周期T=4，又f(x)为R上的奇函数，∴f(6)=f(6-8)=f(-2)=-f(2)=-3.

同一个问题，却有着两种截然不同的答案，着实令人如入云雾.究竟孰是孰非？仔细推敲研究发现，两种解法均正确无误，真正的根源在于，本题的题目有问题.

1.错误剖析

那么，对于一般的函数，是否也有此结论呢？答案是肯定的.即：设f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，则有f(2)=0.

证明一：∵f(x+2)=-f(x)，∴T=4，∴f(2)=f(2-4)=f(-2)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(-2)=-f(2),∴f(2)=0.

证明二：∵f(x+2)=-f(x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x+2)=f(-x)，∴f(2)=f(0)=0.

2.对原题的修改设想

设想1将“奇函数”的条件删去，即：若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且f(2)=3，则f(6)的值为.

简解：f(6)=f(2)=3.

设想2：将“f(2)=3”的条件删去，即：设f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为.

简解：f(6)=f(2)=0.

3.对原题的探究与拓展

定理1设f(x)为R上的奇函数，且满足：f(x+a)=-f(x)，则f(0)=0,f(2na)=0.

证明：f(0)=0易证，以下证f(2na)=0.∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a,∴f(2na)=0.

定理2设f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+a)=-f(x)，则f(a)=0.

证明：由条件可得T=2a，∴f(a)=f(-a)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(-a)=-f(a)，∴f(a)=0.

定理3设f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+a)=-f(x)，则f[a(2n+1)]=0.

证明：f[a(2n+1)]=f(2na+a)=f(a)=0.

定理4设f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+a)=-f(x)，则f(na)=0.

证明：分n为奇数和偶数讨论，由定理1和定理3立得.

偶函数是否具有类似的结论呢？

4.函数图像的特点

定理1设f(x)为R上的奇函数，且满足：f(x+a)=-f(x)，则函数y=f(x) 的图像关于点(na,0)(n∈Z)成中心对称.

证明：∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a，f(x+2na)=f(x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x+2na)=-f(-x)，即f(x+2na)+f(-x)=0，故函数y=f(x) 的图像关于点(na,0)(n∈Z)成中心对称.

证明：∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a，∴f(x+a)=f(x+2na+a),又f(x)为R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，∴f(x+2na+a)+f(-x)=0.

定理2设f(x)为R上的偶函数，且满足f(x+a)=-f(x)，则函数y=f(x) 的图像关于直线x=na(n∈Z)成轴对称.

证明：∵f(x+a)=-f(x),∴T=2a，∴f(x)=f(x+2na)，又f(x)为R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，∴f(x+2na)=f(-x)，故函数y=f(x) 的图像关于直线x=na(n∈Z)成轴对称.