不连续系数重倒向随机微分方程(BDSDE)解的存在性

徐丽平，李治

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)



不连续系数重倒向随机微分方程(BDSDE)解的存在性

徐丽平，李治

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

[摘要]在不连续条件下对重倒向随机微分方程解的存在性进行了研究。在仅仅方程的系数满足线性增长和连续性条件下建立了新的比较定理，构造了一个单调有界的解序列，从而在弱的假设下建立此对类方程了解的存在性定理。该研究结果一般化和改进了一些已有结果。

[关键词]重倒向随机微分方程(BDSDE)；不连续系数；比较定理；存在性

1994年，为给出一类半线性随机偏微分方程解的概率表征，Pardoux和Peng[1]引入一类重倒向随机微分方程(BDSDE)，并在Lipschitz条件下建立了解的存在唯一性。这类方程既包含标准(向前)的随机积分，又包含向后的随机积分。自此以后，相关学者对与随机偏微分方程相关的重倒向随机微分理论展开了研究[2～5]。

在许多实际应用中，Lipschitz条件下往往无法满足，为此许多学者尝试减弱关于系数的Lipschitz条件：Shi，Gu和Liu[6]减弱到线性增长条件给出了一个解的存在性定理；Lin[7～9]及Modeste和Owo[10]研究了一类不连续系数的重倒向随机微分方程。下面，笔者也考虑如下一维的重倒向随机微分方程：

(1)

式中，dW是向前的Ito积分；dB是向后的Ito积分。受文献[8～10]的驱动，笔者在不连续条件下对重倒向随机微分方程(1)解的存在性进行了探讨。

1预备知识

令(Ω，F，P)是一个完备的概率空间，T>0是给定的终端时间。假设{Wt}0≤t≤T和{Bt}0≤t≤T是2个分别取值于Rd和Rl相互独立的定义在(Ω，F，P)的标准布朗运动。对每一个t∈[0,T]，定义：

(C1) L2(Ω，FT，P)={ξ:{FT}-可测随机变量；E[|ξ|2]<∞}；

记f:Ω×[0,T]×R×Rd→R,g:Ω×[0,T]×R×Rd→Rl是可测的随机过程，ξ是R-值FT可测的随机变量，相关假设如下：

(H1)g(·,0,0)∈M2(0,T;Rd),存在常数C>0及0<α<1使得对所有的(t,yi,zi)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2,满足：

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|2≤C|y1-y2|2+α|z1-z2|2

(H2)对每一个t∈[0,T],(y,z)∈R×Rd,f(t,·,z)左连续，f(t,y,·)连续。

(H3)存在非负连续函数h:R×Rd→R,对任意的(y,z)∈R×Rd满足|h(y,z)|≤C(1+|y|+|z|),h(0,0)=0且对所有的y1≥y2,t∈[0,T]及z1,z2∈Rd有：

f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)≥-h(y1-y2,z1-z2)

(H3′)存在常数C>0,使得对所有的(t,yi,z)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2及y1≥y2,有f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)≥-C(y1-y2),此外，f(t,y,·)是Lipschitz连续的。

(H4′)存在非负过程G∈M2(0,T;R)及常数C>0,对任意的(t,y,z)∈[0,T]×R×Rd使得：

|f(t,y,z)|≤Gt(ω)+C|y|+C|z|

(H5)对任意的t∈[0,T],f(t,·,·)连续。

(H6)f(·,0,0)∈M2(0,T;R)。

(H7)( Lipschitz条件)存在常数C>0，使得对所有的(t,yi,zi)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2使得：

|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|)

定义1如果Ft-可测的二元随机过程(y,z)∈S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)且满足方程(1)，则称(y,z)为重倒向随机微分方程(1)的解。

2主要结果

引理1[1]假设(H1)、(H6)和(H7)成立，则重倒向随机微分方程(1)有唯一解(y,z)∈S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)。

比较定理是重倒向随机微分方程理论中一个十分重要而有效的工具。Shi等[6]在Lipschitz条件下给出了重倒向随机微分方程的比较定理, 并在连续和线性增长条件下证明了解的存在性。Lin[8]在仅仅一个方程的系数满足Lipschitz条件下给出了重倒向随机微分方程的比较定理,一类不连续系数的重倒向随机微分方程解的存在性定理也被证明。下面，笔者仅仅在一个方程的系数满足连续和线性增长条件下给出比较定理。

定理1 (比较定理)假设参数为(f,g,ξ,T)及(f′,g,ξ′,T)的重倒向随机微分方程(1)分别有解(y,z)及(y′，z′)，且进一步假设:

1)ξ≤ξ′P-a.s.；

证明这里笔者仅证第1种情况，另一种情况的证明是类似的。

对任意确定的C>0，定义：

fn(t,y′,z′)≤f(t,y′,z′)≤f′(t,y′,z′)P-a.s

从而, 由文献[8]知yn≤y′P-a.s.。证毕。

构造如下重倒向随机微分方程序列:

(2)

证明对n=1，考虑如下重倒向随机微分方程：

(3)

于是：

对n=2，考虑如下的重倒向随机微分方程:

(4)

于是：

(5)

类似于n=2知：

(6)

令：

由(H3)，(H4)知：

由(H1)得：

这里：

于是：

因此：

令：

从而由(H1)知：

从而，由控制收敛定理知：

此外，由B-D-G’s不等式知：

对于n=1，考虑如下重倒向随机微分方程:

(7)

(8)

类似于n=1得到：

3结语

2009年，Modest和Owo[10]研究了重倒向随机微分方程(2)解的存在性，但在文献[10]中需要假设(H4′)来代替定理2中的假设(H4)。事实上，假设(H4′)是(H4)的一个特例。此外，在定理2中仅仅需要g(·,0,0)是均方可积的,而文献[10]要求g(·,0,0)=0。因此，定理2是文献[10]中的定理3.4的改进和一般化。

文献[8]在假设(H1)、(H2)、(H3′)和(H4)成立的条件也得到了一个关于BDSDE(1)解的存在性定理，但条件(H3)比(H3′)弱。事实上， 函数f(t,y,z)=sgn{y}y2+sgn{z}满足假设(H3)，但是对z不是Lipschitz连续，也就是说f不满足假设(H3′), 因此定理2改进了文献[8]中的定理4.4。此外，在条件(H3)中f对z的限制很明显比一致连续假设要弱，且f对z仅是单边一致连续的，因此定理2 也改进了文献[9]中的定理4.4。

[参考文献]

[1]Pardoux E, Peng S.Backward doubly stochastic differential equations and systems of quasilinear SPDEs [J].Probab.Theory Relat.Fields, 1994, 98:209～227.

[2] Boufoussi B, Casteren J, Mrhardy N.Generalized backwarddoubly stochastic differential and SPDEs with non linear Neuman boundary conditions [J]. Bernoulli, 2007, 13:423～446.

[3] Bally V, Matoussi A.Weak solutions of SPDEs and backward doubly stochastic differential equations I[J].Journal of Theoretical Probability, 2001, 14(1):125～164.

[4] Buckdahn R, Ma J.Stochastic viscosity solutions for nonlinear stochastic partial differential equations I [J].Stochastic Process and Their Applications, 2001, 93:181～204.

[5] Buckdahn R, Ma J.Stochastic viscosity solutions for nonlinear stochastic partial differential equations II [J].Stochastic Process and Their Applications, 2001, 93:205～228.

[6] Shi Y, Gu Y, Liu K.Comparison theorems of backward doubly stochastic differential equations and applications [J].Stochastic Analysis and Application, 2005, 23:97～110.

[7] Lin Q.A class of backward doubly stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficients[J].Statist Probab Lett, 2009, 79:2223～2229.

[8] Lin Q. A generalized existence theorem of backward doubly stochastic differential equations[J].Acta Mathematica Sinica, English Series, 2010, 26(8):1525～1534.

[9] Lin Q.Backward doubly stochastic differential equations with weak assumptions on the coefficients[J].Applied Mathematics and Computation, 2011, 217:9322～9333.

[10]Modeste N’zi, Owo J M. Backward doubly stochastic differential equations with discontinuous coefficients [J].Statist Probab Lett, 2009, 79:920～926.

[11]Leprltier J P, San Martin J.Backward stochastic differential equations with continuous coefficients [J].Statist Probab Lett, 1997, 32(4):425～430.

[编辑]洪云飞

[文献标志码]A

[文章编号]1673-1409(2016)10-0001-06

[中图分类号]O211.63

[作者简介]徐丽平 (1980-)，女， 硕士， 讲师，现主要从事随机微分方程方面的教学与研究工作； E-mail: xlp211@126.com。

[基金项目]国家自然科学基金项目(11271093)； 湖北省教育厅青年人才项目(Q20141306)。

[收稿日期]2015-12-28

[引著格式]徐丽平，李治.不连续系数重倒向随机微分方程(BDSDE)解的存在性[J].长江大学学报(自科版)，2016,13(10)：1～6.