巧借“垂直”证明圆的切线

贾青

（南京市中桥中学）

巧借“垂直”证明圆的切线

贾青

（南京市中桥中学）

运用切线的判定定理“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明切线的关键是证明直线和半径垂直.初中阶段三类图形中存在垂直：直角三角形中的垂直；等腰三角形中的垂直；圆中的垂直.利用等量代换，直线平行，三角形全等，可以巧借这些图形中的“垂直”，证明直线和半径垂直.

垂直；切线；圆

在初中数学（苏科版）教材中，证明圆的切线有两种方法.第一种是如果直线与圆的公共点没有确定，那么，过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.简称“作垂直，证半径”；第二种是如果已知直线过圆上一点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径，简称“连半径，证垂直”.

方法二中的关键是证明切线和半径的垂直.运用基本图形的方法可以帮助我们快速寻找解题思路，完成证明过程.本文归纳出初中阶段常见的垂直基本图形，举例阐述利用等量代换、直线平行、三角形全等途径，巧借这些图形中的“垂直”，证明直线和半径垂直.

一、借等腰三角形中的垂直

例1 如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交BC、BA的延长线于E、F．求证：EF是⊙O的切线.

图1

图2

方法解析：如图2，连接OD，交AC于点G，由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，得知AC∥EF，连接OC，由圆心角∠DOC=∠DOA、OC=OA，根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到OG⊥AC，然后利用AC∥EF得到OD⊥EF，从而完成证明.在这个例子中，借等腰△OCA中“垂直”证明了切线.

二、借直角三角形中的垂直

例2 如图3，在△ABC中，∠CAB=90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，ED=EA．求证：直线DE是⊙O的切线.

图3

图4

图5

方法解析：方法一，如图4，发现∠BAC=90°，利用△EAO≌△EDO，得证∠EDO=∠BAC=90°；方法二：如图5，连接AD，先利用EA=ED、OA=OD，得∠EAD=∠EDA、∠OAD=∠ODA，再用∠EAD+∠OAD=90°等量代换得证∠EDA+∠ODA=90°.通过对比，引导学生发现：方法一比方法二更便捷一些，“明借”比“暗借”更好些，暗示学生应该熟悉基本图形，借“明”不借“暗”.无论哪种方法，都是从直角△ABC中借得“垂直”，只不过途径不同，方法一是全等，方法二是等量代换.

三、借圆中的垂直

例3 如图6，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A.求证：直线CD与⊙O的切线.

图6

图7

图8

图9

方法解析：如图7，依托直径所对的圆周角是直角，构建出垂直；如图8，利用半圆所对的圆周角的和90度得到垂直.利用这些垂直可以证明OC⊥CD.当然，构造垂直的途径也不是唯一的.比如，如图8，此题可以构造等腰三角形，借到垂直.

证明圆的切线是中考热点，同时也是难点.利用基本图形，快速寻找垂直，可以极大缩减学生思维有序化的过程，减少学生优化思维过程的障碍，帮助他们成功解决问题.同时，也能减轻学生对圆的知识的畏惧心理，提高他们学习数学的积极性.

·编辑 孙玲娟