丹江口水库设计洪水比较研究

胡 瑶，郭生练，刘章君，尹家波

(武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072)

水文事件的频率分析常用于推求给定设计频率或重现期的洪水设计值，为水利工程规划、设计管理决策提供重要依据[1,2]。水文频率计算过程涉及两个关键问题：线型选择和参数估计。我国结合许多长期洪水系列分析结果和多年设计工作的实际经验，一直采用P-Ⅲ型曲线，并已写入规范[3]。但洪水过程的形成受多种复杂因素影响，各地水文特性不同，因而统一采用同一线型并不能适用于不同地区的水文特性的原则[4]。李松仕[5]认为:全国采用单一统一频率分布线型,不能完美地描述我国各地资料出现的各种情况。因此，选择何种水文频率线型，仍是频率分析中尚需研究的问题。目前，美国主要采用对数P-Ⅲ(LP3)分布[6]，英国1975年编写的《洪水研究报告》推荐采用广义极值(GEV)分布[7]，该分布在欧洲和非洲大陆得到了广泛的应用。

参数估计方法是洪水频率分析计算的另一重要内容。常见的参数估计方法有矩法、极大似然法、适线法、权函数法、概率权重矩和线性矩法。1979年，Greenwood[8]等提出了概率权重矩，用于存在显式反函数分布的参数估计，如Gumbel分布、GEV分布和Wakeby分布等，宋德敦和丁晶[9]把该法应用于近似估计P-Ⅲ分布参数；1984年，马秀峰[10]通过引入一个权函数，提出了估计P-Ⅲ型分布参数的权函数法，指出权函数法可减小矩差，提高P-Ⅲ型曲线偏态系数的估计精度；1990年，金光炎[11]论述了水文频率计算中通用的目估适线法和优化适线法，指出了适线法与分析人员的水平和经验有关，主观性很强；1990年，Hosking定义了线性矩法[12]。它是在常规矩的基础上发展起来的用来估计洪水频率曲线参数值的一种新方法。线性矩是概率权重矩的线性组合，对极大值、极小值没有那么敏感，估计偏差小而且更稳健[13,14]。

许多学者在线型分布和参数估计方法比较研究方面取得了大量的成果。戴荣等[15]应用贝叶斯理论和贝叶斯因子法比较了P-Ⅲ和LP3分布对黄河某站洪水资料拟合情况, 结果表明：P-Ⅲ稍优于LP3分布；叶长青[16]等以3种分布选择准则对P-Ⅲ、LP3等8种典型频率分布进行拟合优选，结果表明：适合100% 实测流量与50%高水实测流量的最优分布基本一致但存在差别，适合50%高水流量的分布与大洪水点据拟合得更好。刘洁等[17]应用线性矩法估计参数，比较分析了P-Ⅲ、LP3、广义逻辑(GL)分布在两个流域洪水频率分析计算情况，结果表明对于小概率事件，LP3和GL分布的设计洪水值要大于P-Ⅲ曲线分布计算的值，而P-Ⅲ分布的误差整体小于LP3分布。周芬等[18]采用理想样本还原准则，对矩法、概率权重矩法、权函数法、混合权函数法和线性矩法等六种估参方法进行了比较研究，最后得出线性矩法的稳健性要明显优于其他方法；杨绍琼[19]探讨了极大似然法、权函数法、单权函数法、双权函数法、概率权重矩法和适线法等几种参数估计方法的应用，结果表明：矩法所得的统计参数和设计值明显偏小，估计结果只可作为初值；概率权重矩所得的统计参数表现出较好的不偏性和有效性，参数估计效果优于矩法。

为寻求最佳的概率模型来拟合样本分布，以使估计的样本参数最能反映总体的内在分布特性，使计算的结果更加合理可靠，本文选取了不同的分布函数和参数估计方法构建了P-Ⅲ型分布和经验适线法(P-Ⅲ/CF)、P-Ⅲ型分布和线性矩法(P-Ⅲ/LM)、GEV分布和线性矩法(GEV/LM)、对数P-Ⅲ型分布和常规矩法(LP3/MM)组合模型，应用这4个洪水频率分析模型估计设计洪水，并比较不同模型的计算结果。

1 洪水频率分析模型简介

1.1 P-Ⅲ/CF模型

中国《水利水电工程设计洪水计算规范》[3]推荐采用P-Ⅲ型分布和经验适线，简记为P-Ⅲ/CF洪水频率分析模型。P-Ⅲ分布函数的概率密度函数为：

(1)

式中：α、β和μ分别为P-Ⅲ分布函数的形状、尺度和位置参数。

(2)

若样本系列为不连序的洪水系列X，其最大调查期为N，调查的历史洪水个数为a，实测系列的年数为n，实测系列中含特大洪水个数为l。本文采用统一样本法计算，计算公式如下。

N年中前a个洪水的经验频率为：

(3)

实测系列中除特大值外的n-l个洪水的经验频率为：

(4)

1.2 P-Ⅲ/LM模型

采用P-Ⅲ型分布，用线性矩法估计参数，建立P-Ⅲ/LM洪水频率分析模型。若不连序的洪水系列X服从P-Ⅲ型分布，令由小到大排列样本为{xm,m=1,2,…,n0} (n0=n-l+a)，则线性矩λ1，λ2，τ3对应的样本矩l1,l2,l3的计算公式如下：

l1=b0l2=2b1-b0

l3=6b2-6b1+b0τ3=l3/l2

(5)

含历史洪水的不连续系列的前三阶概率权重矩公式如下：

(8)

当已知λ1，λ2，τ3，则Ex，Cv，Cs的计算公式如下。

当|τ3|<1/3时，则：

Z=3 πτ23

(9)

当1/3<|τ3|<1时，则：

Z=1-|τ3|

(10)

Ex=λ1Cv=λ2π1/2α1/2Γ(α)/Γ(α+1/2)

Cs=2α-1/2Sign(τ3)

(11)

P-Ⅲ分布参数与线性矩法的关系及具体演算过程见文献[20]。

1.3 GEV/LM模型

采用GEV分布，用线性矩法估计参数，建立GEV/LM洪水频率分析模型。

GEV分布函数为：

(12)

式中：μ，α和k分别为GEV分布函数的位置、尺度和形状参数，其中α>0。

GEV分布函数的不连序系列线性矩λ1，λ2，τ3的计算方法与P-Ⅲ分布一致。

则μ，α，k的计算公式如下：

α=λ2k/[(1-2-k)Γ(1+k)]μ=λ1-α[1-Γ(1+k)]/k

(13)

其中k无显示表达式，只能用近似方法求解k：

k≈0.785 90c+2.955 4c2[c=2/3(3+τ3)-ln 2/ln 3]

(14)

文献[21]中推导出Ex，Cv，Cs的计算公式为：

Ex=μ+α[1-Γ(1+k)]/k=λ1

(15)

Cv=α[Γ(1+2k)-Γ2(1+k)]1/2/(|k|Ex)

(16)

Cs=Sign(k) [-Γ(1+3k)+3Γ(1+2k)Γ(1+k)-

2Γ3(1+k)]/[Γ(1+2k)-Γ2(1+k)]3/2

(17)

GEV分布参数与线性矩法的关系及具体计算过程见文献[21]。

1.4 LP3/MM模型

美国规范推荐采用对数P-Ⅲ分布，用矩法估计参数，即LP3/MM洪水频率分析模型[6]。对数P-Ⅲ分布是将对应超过概率的水文变量的样本数据取以10为底的对数，其设计值通过下式计算：

(18)

K值可以通过以下公式估计：

(19)

式中：k=G/6；Kp为频率因子；G为取对数后的偏态系数。

当偏态系数G介于1.0和-1.0之间时，K值可以通过以下公式计算获得：

(20)

式中：Kn为标准正态离差。

(21)

标准差S和偏态系数G的计算公式为：

(23)

2 实例分析

丹江口水库是汉江中下游防洪和水资源开发的关键性水利枢纽工程，也是南水北调中线工程的水源工程。丹江口水库流域面积9.52万km2，约占汉江集水面积的60%，多年平均来水量约363亿m3。本次研究采用丹江口水库的历史调查洪水和1929-2014年(共86 a)的实测洪峰系列资料，其中1935年做特大值处理。历史调查洪峰系列为1583、1867、1852、1832、1693和1921年，最大调查考证期为432 a。分别采用P-Ⅲ/CF、P-Ⅲ/LM、GEV/LM、LP3/MM 4个模型，分析比较丹江口水库设计洪水的估算结果。

为比较我国规范推荐的P-Ⅲ/CF模型估算结果与其他模型的差别，采用相对偏差(Relative Bias)作为评价指标，其计算公式为:

(24)

表1列出了样本系列统计特征值的估计结果。表2给出了4种模型估计的设计洪水与相对偏差。

表1 丹江口水库4种洪水频率分析模型的统计特征值估计结果Tab.1 Estimated statistical characteristic values of four flood frequency analysis models for the Danjiangkou reservoir

表2 丹江口水库设计洪水估算成果及偏差对比表Tab.2 Comparison of design flood estimators and deviations for the Danjiangkou reservoir

由表2可知，当重现期T=10 000 a时，P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型的洪峰设计值与P-Ⅲ/CF模型的设计值的偏差最大，其中GEV/LM模型与P-Ⅲ/CF模型的偏差为12.14%，在3种模型中偏差为最小；当重现期T≥10 a时，P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型洪峰设计值与P-Ⅲ/CF模型的设计值的偏差随着重现期的增大而增大；当重现期T≥1 000 a时，GEV/LM模型的设计值与P-Ⅲ/CF模型的偏差最小，而当T<1 000 a时，LP3/MM模型的设计值与P-Ⅲ/CF模型的偏差最小。

图1是丹江口水库年最大洪峰流量的4种模型频率曲线对比图。由图1可知， P-Ⅲ/CF模型的设计值在频率曲线图的上下尾端比P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型偏大明显，而在实测资料的范围内差别不是很显著；在频率曲线图的上下尾端，P-Ⅲ/LM模型的设计值比P-Ⅲ/CF模型的偏小较明显，造成该现象的主要原因是L矩估参方法对洪水系列中的极大值和极小值没有那么敏感。

图1 丹江口水库年最大洪峰流量4种频率曲线对比图Fig. 1 Plots of the four frequency curves for annual maximum peak flood series at the Danjiangkou reservoir

P-Ⅲ/CF模型估算的小概率设计洪水明显大于其他模型的主要原因有：P-Ⅲ/CF模型的经验频率公式计算结果偏大。中国目前采用的数学期望公式在推求设计洪水时具有较大的偏差和均方差，尽管在连序系列中，数学期望公式频率估计是无偏的，但扩展到不连序系列后，其频率估计是有偏的。与其他公式相比，数学期望公式n/(m+1) 上端偏大下端偏小，对工程设计偏安全；P-Ⅲ/CF模型的参数估计方法人为性大。一般总是要尽可能照顾历史洪水(或大洪水)点据，要尽量靠近它，这样，所求得的所谓万年一遇洪水必然偏大很多。

3 结 语

设计洪水计算一直是水文学研究的热点和难点。本文建立了P-Ⅲ/CF、P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM 4个频率分析模型，对丹江口水库1929-2014年的实测洪峰系列资料和历史调查洪水进行分析计算，通过分析比较发现：

(1)不同模型的计算结果，在实测系列的范围内差别不是很大，而在外延推求稀遇洪水时的差别就很明显，说明了在推求设计洪水时，需要慎重选择合适的线型和参数估计方法。

(2)中国规范估算的小概率设计洪水均明显大于其他模型，其中当重现期T=10 000 a时，P-Ⅲ/CF模型的设计值比P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型分别偏大14.62%、12.14%和15.12%。

(3)丹江口水库万年一遇校核洪水比国外模型估计值偏大很多，有必要在其他流域开展类似的比较研究，分析我国规范设计洪水计算偏大的原因。

□

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