基于最小能耗渠道断面设计研究

熊昊冠，刘小平

(江西省水利水电建设有限公司，南昌 330025)

基于最小能耗渠道断面设计研究

熊昊冠，刘小平

(江西省水利水电建设有限公司，南昌 330025)

最小能耗原理和最大能耗原理是水利学与河流动力学研究的假设。文章在理论上证明了能量极值假说的存在性与可解性，描述了能量假设极值与一个已知的最小和最大的条件之间的关系，并将计算结果进行了比较，研究了一种稳定渠道断面设计方法，在建立求解稳定渠道断面形状极值问题的基础上，通过变分原理推导出稳定渠道断面形状为形式简单的圆弧形曲线。

最小能耗原理；稳定渠道设计；监界渠道；优化设计

0 前 言

渠道设计可能涉及到一个现有的流的稳定或调整，或可能是一个全新的渠道创新。有各种各样的来源和技术设计稳定的渠道。这些技术可能会集中在各种开放式通道的设计工作上。然而，这些技术需要运用到适当的条件和流类型上。冲积河流具有由水和沉积物相互作用形成的自身的通道。因此，提出了一种新的流体流动问题，其中一个要求就是不仅确定在一个给定的“容器”的流量，而且要求“容器”本身最优的几何形状。一般问题是稳定的和形态活跃的河流渠道断面设计，例如，一个可以传输大部分自己河床上的渠道物质。可以利用最小能耗原理和最大能耗原理来定义渠道断面的几何形状，并最终获得合理断面形状设计。通过对各种渠道情况进行分析研究表示稳定的渠道需要考虑河岸侵蚀与河岸沉积的动态平衡，建立求解稳定渠道断面形状极值问题。所谓稳定渠道断面就是一个河床的边界泥沙剪应力处处等于泥沙临界运动剪应力。一般国内外研究中，将它称为临界渠道。美国研究者研究出了利用余弦型曲线表示的稳定渠道断面形状，国外学者对设计方法进行改进。Parker在考虑剪应力作用下的泥沙起升力的基础上，得到边坡的稳定渠道的横截面形状如下：

(1)

式中：β为水流对渠道内泥沙的托举力与拖曳力的比值。当β=0时，与美国学者研究的相同。

在研究中，重点在于对河床上的横向分布剪切应力。使用数学多项式近似给定了渠道水深沿河宽的分布及宽度与深度比值的公式：

(2)

(3)

式中：c5、c4、c2为多项式的系数；b为渠道断面的宽度。Yu和Knight利用Shiono和Knight研究的渠道水深平均的水流运动方程出发，研究得到了用数值计算方法实现的稳定渠道断面设Cao和Knight没有考虑剪应力的影响，利用最大熵原理和变分的方法了给出一个稳定的渠道抛物线截面形状：

(4)

文章正是利用Cao和Knight不考虑床面切应力来研究稳定渠道断面设计。

1 稳定渠道断面形状设计的模型

对称的明渠渠道断面形状中,y是从所研究渠道中心位置沿水面方向指向渠道岸边坐标，z为垂向向上坐标，h(y)为渠道水深。明渠渠道均匀流的方程表达式如下所示：

(5)

式中：Q为渠道的流量；A为过水断面的面积大小；C为谢才系数；R为渠道水力半径；J为渠道水力坡度，对渠道均匀流即为渠道底部坡的坡道；n为渠道粗糙率；x为渠道湿周。

图1 渠道断面形状示意图

由此可以得出过水断面面积大小：

(6)

式中：b为渠道的断面宽度，相应的渠道湿周为：

(7)

式中：h′(y)是h(y)的导数。

如果渠道边坡土壤泥沙摩擦力为μ=tanφ，φ为水下休止角。保证边坡稳定性需要[10]：

|dh(y)/dy|≤μ

(8)

由最小能耗原理[11]得单位长度水流所消耗的能量为：

E=γQJ

(9)

式中：E为能耗量；γ为水的比重；J为水力梯度，均匀流时为渠道底面。由上式得：

(10)

公式(5)、(8)和(10)组成了封闭的求解稳定渠道断面尺寸大小的基本方程组，由方程(8)和(10)就可以得到稳定渠道断面形状，在求得断面形状后再由方程式(5)确定公式的参数b。

公式(10)是属于求极值的问题，而公式(8)是求此极值问题的约束条件。要解此极值问题，不能直接求出，而须采用变分原理。由变分法的基本原理得公式(10)是一个二阶微分方程，积分后可以得到:

(11)

式中：b为圆的半径；y0属于积分常数，当y=0时曲线的斜率等于零，这样显然有y0=0。所以方程的解为：

(12)

式中：b可根据极值问题的约束条件式(8)来确定设定。如渠道水面处的梯度等于渠道泥沙休止角，这样就可以满足渠道边坡稳定性的要求。由图1的几何关系得：

(13)

最后得稳定渠道断面形状与泥沙静摩擦系数有关的圆弧形曲线为如下形式：

(14)

当渠道边界材料的强度足够大时，即μ=tanφ=∞时，上式可简化为：

(15)

它表示的渠道断面为半圆形形状。

下面介绍一下渠道圆弧形断面形状的一些水力学参数，过水断面的面积：

(16)

湿周为：

(17)

水力半径为：

(18)

水深为：

(19)

渠道断面形状中心处的最大水深值为：

(20)

宽度与最大水深比为：

(21)

当渠道边坡土质比较坚硬时，渠道宽度与断面最大水深的比值最小为2，与水力学的结果是相同的[12]。

2 稳定渠道断面的设计步骤

当Q、d、μ已知时，需要求解的是J、hc、b和断面形状。具体的计算过程和步骤如下[13]：

1)设定渠道最大的水深hc初值；

4)由式(21)计算渠道水面宽度b,并根据公式(15)计算稳定渠道的断面形状;

5)由式(19)计算得到渠道过水断面面积A，由Q=VA计算渠道的流量，若计算得到的流量等于先前给定的流量，则计算停止。

图2是在不同μ值情况下，根据文章方法计算得到的结果，随着μ值的不断增大，渠道边坡土质质量越好，其宽深的比值也相应变小，当μ→∞时渠道断面形状为半圆形曲线，这与水力最佳断面相同。图3是在d=0.8mm且μ=0.5的条件下，不同渠道流量时基于最小能耗原理计算得到的渠道断面形状。从计算结果可以看出，基于最小能耗原理计算得到的渠道断面是非常符合工程实际的。

图2 在不同μ值时的比较结果

图3 不同流量时文章方法的计算结果

3 结 论

渠道断面设计涉及到全新的渠道断面创新，有各种各样的技术来设计稳定的渠道断面。这些技术可能会集中在各种开放式通道的设计工作上。然而，这些技术需要运用到适当的条件和流类型上。冲积河流具有由水和沉积物相互作用形成的自身的通道。因此，它们提出了一种新的流体流动问题，其中一个要求就是不仅确定在一个给定的“容器”的流量，而且要求“容器”本身最优的几何形状。对于水力学与河流动力学的研究，有两个令人困惑的假设：最小能耗原理和最大能耗原理，文章在理论上证明了能量极值假说的存在性与可解性，描述了能量假设极值与一个已知的最小和最大的条件之间的关系，并将计算结果进行了比较。通过文章方法的计算结果可以看出基于最小能耗原理的渠道断面形状设计是切实可行的，完全可以用来指导工程设计。

[1]黄才安,龚敏飞,陈志昌，等.基于最小能耗原理的稳定渠道断面形状[J].水动力学研究与进展，2005,20(02):189-195.

1007-7596(2016)12-0053-03

2016-12-02

熊昊冠(1984-)，男，江西南昌人，工程师，从事水利工程施工管理工作；刘小平(1973-)，男，江西南昌人，工程师，从事水利工程施工管理工作。

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