提升几何直观能力 助推学生数学理解

□朱雪莲

提升几何直观能力 助推学生数学理解

□朱雪莲

几何直观是小学数学课程十大核心概念之一，也是新课标新增加的四个核心概念之一。发展学生几何直观能力可以采取以下教学策略：直观表征策略、直观明理策略、直观促思策略、直观梳理策略。由此，可以对学生的数学理解起到助推作用，真正提升学生的数学学习能力。

几何直观 策略 数学理解

几何直观是小学数学课程十大核心概念之一，也是新课标新增加的四个核心概念之一。教师如果能认清几何直观的本质，找准提升学生直观能力的实践策略，就能提高学生的学习兴趣、学习效率，并对学生的数学理解起到助推作用。

一、抽象概念——直观表征策略

所谓表征活动，就是将一个“被表征”的对象，用另一种表征方式重新表现出来，而不失其意义，以达到沟通的目的。小学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，具有较强的直观性。受到知识经验和思维水平的限制，数学概念学习比较抽象，有些概念很难用学生理解的语言加以表述。这时，图形直观往往会成为有效的表达工具，学生对能看的到的或自己动手操作的学习内容，往往容易接受。

【案例1】“平均数的认识”教学片段

师：老师身高175厘米，一条河平均水深140厘米，能没过老师吗？

生：不会淹没的，175厘米大于140厘米呀。

生：如果淹没，说明数据有错。

生：蹲着会淹没的。

生：平均水深又不是每个地方都是140厘米，有可能比140厘米浅，也有可能比140厘米深。如果老师经过比140厘米深的地方就不行了。我可以上来画一画吗？（生板书）

生：当老师走到175厘米的地方头就淹没了，到最深的200厘米处更不用说了，而175厘米以上就没问题了。

教师用图中长度相当的小棒作为模拟人，演示从池塘壁沿一直走到深处，学生随着走动的路线呼应“会”或者“不会”。

平均数是一个虚拟数，比较抽象。教师提供了一个能让学生有话说并引发思考的生活问题，一开始引发了学生的争辩，有一位学生主动提出用直观图来说明自己的观点，在师生对话中不断修正直观图，增进学生对平均数概念的理解。由此可见，描述数学事实、概念或关系时，图形语言的描述为文字语言或符号语言的描述提供了直观表象，也为理解和掌握相关的文字语言与符号语言的意义和内涵奠定认知基础。教师要注意三者的转换，帮助学生沟通几何直观与数学本质之间的联系。

二、理解算理——直观明理策略

在计算教学中，教师往往注重计算方法的教学，忽视算理理解，造成部分学生即使能掌握计算方法，对算理理解较难深入，常常是知其然而不知其所以然，停留在形式模仿阶段。学生不能理解算理主要是因为没有实现“把抽象的算法具体化”与“从具体中进行抽象”的两个转化。

为理解算理，我们常用的方式就是动手操作。比如低年级学生常用的小棒、计数器和直尺，通过动手操作在人脑中形成知识表象，在表征过程中对问题进行深层次的思考，形成更深刻的、个性化的认识和体验，使外在的操作行为真正成为学生知识内化的推手。

【案例2】“小数除法——整数除以整数”教学片段

师：小明带了100元钱到书店买书，买4本《格林童话》，服务员找了3元。一本书多少钱？（生尝试练习）

生：一本书24元余1元。

生独立思考。

生：1元=10角，100÷4=25（分），一本书用了24元25分。

每本2角，共8角 余下2角怎么办？

生：继续分。

画图：2角=20分，20÷4=5（分）（第二次分）。

生：还可以1元=100分，又能分了，100÷4= 25（分）。

师再引导生，结合竖式算到个位有余数还要继续往下算的每一步理由。

小数除法的计算方法属于程序性知识，教师直接教算法学生能看得清晰，通过一定量的练习也能算得正确，对于“为什么这样算”，有不少教师不愿意花这么多的时间来探究，而宁愿花更多的时间做习题。在上面的案例中，学生受原先有余数除法知识的负迁移，余下1元就作为结果呈现，与现实不能这样付钱产生认知冲突，于是想到了“破1元为10角”继续分，当第一次分了之后还剩2角时，学生又产生了第二次分的想法，一直到分完为止。这样的教学设计，能基于学生的认知心理，引领学生通过直观画图来表达自己对算法的理解，自己说得清楚，别人也听得明白，真正做到了理解算理和明晰算法的有机结合。

三、解决问题——直观促思策略

小学生的思维特点，以形象思维为主，逐步向抽象思维过渡。虽然教材中呈现问题的形式多样，有图画式、对话式、图表式、文字式等，随着年级的升高，以文字形式呈现成为主流。纯文字的问题语言表述上比较简洁，枯燥乏味，致使学生常常读不懂题意。如果学生能自己在纸上画一画、理一理、排一排，借助直观图形把抽象的数学问题具体化，就能帮助读懂题意、理解题意，找到解决问题的思路，从而提高学生解决问题的能力。

【案例3】“有余数的除法”习题教学片段

（生解决了“六月份有30天，共有几个星期，还剩几天”的数学问题之后）

师：六月份有30天，如果六月份有5个星期六和星期日，那么6月1日是星期几？（生独立思考）

生：星期五。我猜想这样排下去应该都有5个的。

生：不对，第一个星期2天（星期五、星期六），加4乘7有28天，刚好30天。这样，星期日只有4个。

师生在交流中填写日期图表，星期日的确只有4个。

生：1日往后移1天，这样刚好。

师：果然不用写日期，也能说明问题，真了不起，很方便！

生：其实我连图都不用画，算算就可以了。30天里肯定有4个7天的，中间填满四行，还有2天，第一行1天，最后1天放最后一行。7×4+1+1= 30天。

日一二三四五六

师：有了前面的图表说明，这个看上去很简洁的算式大家都理解了吧。

生：那我有一个问题，如果有28天、31天的，也会有2个星期六和星期日吗？

学生借助简约符号直观，对问题逐渐深入的过程，完美地诠释了数学发现的过程，也再次说明了几何直观是推动思维展开的基础，也是获得对数学深度理解的依托。从最原生态的排日期，发现不行后移1天，又有学生发现用“”符号代替具体日期也能解决问题，还有学生顿悟用算式这个模型也能解决问题。整个过程，也是数学抽象的过程，从具体的每一天到简单的一个算式，学生的思维也逐渐递进，经历了一个完美的数学发现过程。

四、构建网络——直观梳理策略

在课的总结阶段，或者在复习教学中，其目标之一就是梳理知识体系，而往往在厘清知识之间的抽象、复杂关系，需要突破教学中的重难点问题、构建知识网络时，借助几何直观说明问题。

【案例4】“三角形的分类”教学片段

在课的总结环节。

师：今天你学到了什么？有什么新的收获？

师生在对话过程中形成集合圈：

师：如果要把等腰三角形放到集合圈中，可以怎么放？

生：（思考片刻）因为三类三角形都有等腰三角形，所以放在中间。

师：等边三角形可以放进去吗？

生：因为等边三角形既是锐角三角形，也是等腰三角形，所以要放到左上角。

师：那等腰直角三角形呢？

生：放在内圈的下面，既属于直角三角形，也是等腰三角形。

生：那还有等腰锐角三角形、等腰钝角三角形。

在这节课中，按角分把三角形分为三类；依据边的特点，有等腰三角形也有等边三角形，这两种三角形属于包含关系；结合角和边的特点，比较特殊的有等腰直角三角形。受按角分类思想的影响，学生喜欢把等边三角形、等腰三角形分为两类，这是知识学习的负迁移；而等腰直角三角形也是一种特殊情况，需要和按角分类命名、按边的特点命名的三角形找联系。虽然是几何图形教学，当这么多接近的三角形名称集中在一起时，学生容易混淆，一般教师愿意在教学中按角或按边分开来认识学习。而这位教师在分的基础上，借助集合圈几何模型，先分类，再辨别类型，还大胆引导学生寻找这些三角形名称之间的关系，很好地理顺了知识点，也突破了学习的难点，有助于学生构建知识网络图。

数学家张广厚曾经说过，数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度抽象思维的能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。课堂是学生获取知识的主要途径，学生的思维方式和价值感受也主要在课堂中形成的。有较强的几何直观意识和能力的教师，学生相应的能力也会增强。教师需多创设这样的教学情境，让学生经常在课堂中感受几何直观价值，多用几何直观的方式来说明数学的内在道理，可以更好地引导学生达成对数学的深度理解。这样的课堂，学生不仅收获了数学知识，更增强了学生的直观意识，提升了学生的几何直观能力，让数学变得简单。

[1]秦德生.关于几何直观的思考[J].中小学数学教学参考，2005（10）.

[2]蔡宏圣.几何直观:小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（5）.

（浙江省杭州市文三教育集团文三街小学 310012）