纠错过程也应该是自然的和水到渠成的

纠错过程也应该是自然的和水到渠成的

●余建国(大厂高级中学江苏南京210044)

很多时候，学生的解题错误往往被学生自己笼统地定性为“粗心大意”，不少教师也忽视从学生的错误中挖掘宝贵的资源价值，不能发现学生潜在的对数学概念理解不透、对数学运算和推理掌握不牢等学情，从而失去了及时矫正的良机.而在纠错环节，除了教师不平静的教学态度和冗长的“弦外之音”影响学生的学习情绪外，纠错教学也是就事论事，没有把纠错自然地融入到正确理解数学概念、合理使用定理和公式、掌握计算技能等教学过程中,纠错效果不佳，效益不高．

人教A版教科书在“主编寄语”中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的．如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味．”因此，学生在数学学习中的错误不仅与概念相悖，而且是不合情理的，而纠错教学就是将不自然、不合理的错误变成自然、合乎情理的理解．教师要及时捕捉学生的错误，从中选取有价值的教学资源加以研究和利用，并及时调整教学流程，把学生的错误自然地、巧妙地融入自己的教学过程中，这样,课堂会因为学生的错误而精彩．本文结合几个案例，分享笔者的做法，以期抛砖引玉．

案例1为什么不能照搬函数的单调性

例1数列{an}的首项为a(其中a≠0)，前n项和为Sn，且Sn+1=tSn+a(其中t≠0)，设bn={Sn+}1．

1)求数列{an}的通项公式；

2)当t=1时，若对任意n∈N*，|bn|≥|b3|恒成立，求a的取值范围．

教师投影学生的错误解法：

由第1)小题得

bn=an+1，

即对任意n∈N*，有

|an+1|≥|3a+1|,

不等式2边平方，得

a2n2+2an-9a2-6a≥0，

(-2a)2+4a2(9a2+6a)≤0，

化简得

(3a+1)2≤0，

于是

图1

师:这个解法考虑得非常全面，抓住了对称轴对二次函数的单调性进行讨论．下面再看数列{cn}，其中cn=n2-{5n+}6，请同学们画一画它的图像．

一会儿，大部分学生画出图1．

师:这个函数满足对任意n∈N*，cn≥0吗？

此时，学生意识到，投影上的解法错了，原因也找到了——没有考虑数列是“特殊的函数”．由于n∈N*，这就造成即使函数f(x)在某2个正整数之间函数值为负，但仍然有f(n)≥0(其中n∈N*)的特殊情形，而此时Δ>0．

经过画图、辨析和讨论，学生在错解的基础上，给出下面的正确解法：

正解1从|bn|≥|b3|知，当n=3时取到等号，即f(3)=0，故函数f(x)的图像恒过点(3，0)．

得

至此，纠错工作似乎要结束了．但笔者看到一位学生看着黑板上的图像发呆，想什么呢？

生:我觉得，由于图像开口向上，当n足够大时，f(n)≥0肯定没问题，出问题的可能就是前面几个值，稍微归纳一下就能搞定了．

窃喜！他替笔者说出了新的思路．沿着他的想法，得到了用一次函数处理单调性的解法．

(an+1)2-(3a+1)2≥0，

从而[(n+3)a+2](n-3)≤0,

(1)

既然提到了一次函数，我们何不直接研究|bn|的图像呢？在此启发下，学生很快得到了更简洁的解法．

正解3g(n)=|bn|=|an+1|，其图像是折线(形似V)y=|ax+1|上离散的点，无论点(3，{g(3))}在折线的左边，还是在折线的右边，都有

|bn|≥|b3|,

即

从而

解得

学生总结:要注意数列定义域的特殊性；要多结合数列图像——离散的点考虑；也可以利用自然数的特点归纳；等等．

评析学生由于思维定势，将连续函数的单调性照搬到数列中，这是对数列概念理解不到位，而学生的错误中也有思维的亮点，如抓住对称轴分类讨论．笔者设置情境冲突，让学生自己发现错误，并努力寻找错因，探究正确方法，从而深刻理解数列的概念．

心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻．”错解也恰恰反馈了学生对数列概念的理解程度，学生在不断纠正错误的过程中能逐渐领悟数列概念．笔者认为，数列概念和性质需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，这样才能真正掌握，灵活应用．案例表明:错误不可怕，关键是教师对待错误的基本态度和方法．而笔者把它当成最宝贵的课程资源之一，把它融入精心的教学设计内容之中．

案例2为什么这样找对称中心是错的

笔者批阅此题时发现，不少错误的答案是(2，0)．以下是讲评的片段．

师(请一位犯这类错误的学生回答)：怎么看出来的？

师：能证明这个结论吗？

师：对称中心是(2，0)吗？

师：那函数f(x)的定义域是{x|x≠2}，值域是{y|y≠0}吗？

图2

评析如果教师轻易否定学生的想法，那么也就错失了绝佳的教学资源．试想，对称中心的横坐标为什么一下子就能想到是2呢？如果没有学生错误的“引子”，直接告知显得生硬，那就得从对称中心的定义f(a+x)+f(a-x)=2b入手了．显然，这是个复杂的运算过程．从另一角度看，学生的错误正好为教师“解围”了，教师抓住它，顺势而为，把函数的定义域、值域、单调性、渐近线等融会贯通，既纠正了对称中心，又将相关知识复习了一遍．这才是一个自然的融错教学过程．

教学实践证明:如果学生缺乏独立思考、自我反省的时间和机会，被动接受经验和方法，那么这样的认知是模糊的、不稳定的，他们对知识和方法的理解也很难由经验性上升到形式化、结构化的程度，产生遗忘、混淆的现象也就不足为奇了．因此，通过这次纠错之旅，笔者认识到在函数概念和性质的教学中，要舍得花时间，除了呈现概念或性质的形成过程，还需要对数学概念进行充分地研磨，通过反例或启发等途径暴露矛盾，引发学生自我反省，从而找到错误的地方，分析错误的性质；而作为错解的对比、补救或纠正，引导学生自己找到正确的解法．

案例3为什么数列的通项2组解是一样的

1)若数列{an+1+λan}是等比数列，求实数λ的值，并求出数列{an}的通项公式；

2)略．

学生通过待定系数法得(其中q为公比)

解得

师：这儿出现了2组解．接下来怎么求通项公式呢？

生(众)：分类讨论呗．

这时，所有学生都惊奇地发现:2组解分别求出的通项公式是相同的，也就是说此数列的通项公式可以用一个式子表示．

师：为什么这2组解得到的通项公式是相同的？是碰巧吗？

思考片刻．

生1：从初始条件和递推关系来看，由a1，a2可以唯一确定a3；由a2，a3，可以唯一确定a4……依此推理，这个数列的各项都是唯一确定的，也就是说，通项公式的表达式可以只用一个式子．

师：那么解题时，应该怎样表达呢？

生2：用“同理可得”．

生3：不对，应该先说“各项唯一确定”，然后只要选取一组(λ，q)的值求解．

众人恍然大悟，惊叹深刻思考后所得到的解题方法便捷．

评析严格地讲，开始学生的解法并没有错误，但暴露了他们对数列定义、递推关系的不理解，因而需要教师的引导、优化．经历过刚才复杂的运算，以及看似“多此一举”的另一个解的求解过程，学生才能感受到生4解法的可贵之处．教师是主导，导演一幕融错剧；学生是主体，经历深刻理解数错剧; 学生是主体，经历深刻理解数学概念的过程． 学生感觉到: 只有真正理解数学概 念，才能得到正确的、甚至是优美的解法．

教育家苏霍姆林斯基说过：“没有自我教育，不是真正的教育．”真正的纠错教学应该是自然的、水到渠成的．教师不应急于用自己的思想去同化学生的片面观点、错误认识，而应站在学生的立场去顺应学生的思维，掌握其思维的轨迹，给学生一定的研究平台、时间和空间，让学生在深思中发现错误，寻找错因，探究正解，在辨析中明理，在理解中内化，在纠错中升华．

叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情的旅程．”错解是一种生成性教育资源，作为教师，应珍惜这样可遇而不可求的资源，努力提高自己驾驭课堂、教材和教学的能力，更新自己的课程观，使纠错之旅水到渠成、浑然天成，不仅合情合理，而且很有人情味．