赫尔墨特方差分量估计在CPⅢ高程控制网平差中的应用

摘 要：在进行CPⅢ高程控制网测量时，需要将地面水准点的高程传递到桥上或路基上，当路基和桥与地面高程差异较大时需要通过全站仪三角高程测量来传递高程。这样控制网内就存在两类观测值，一类是全站仪观测值，另一类是水准仪高差观测值。文章对两类观测值的误差来源进行了分析，确定各类观测值的先验误差，然后利用赫尔墨特方差分量估计对两类观测值进行合理定权并对高程网进行平差。平差计算程序由matlab实现。

关键词：CPⅢ高程控制网；方差分量估计；平差

引言

在进行CPⅢ高程控制网测量时，需要将地面水准点的高程传递到桥上或路基上，当路基和桥与地面高程差异较大时往往进行全站仪三角高程观测高差。高程控制网内存在着两类高差观测值，这两类观测值误差来源不同。目前国内的CPⅢ平差软件在进行高程控制网平差时将全站仪的高差测量值的权设为无穷大，认为这些观测值不存在误差，这本身并不科学。文章在高程控制网平差时引入赫尔墨特方差分量估计，合理确定两类观测值的权。

1 CPⅢ高程控制网简介

CPⅢ控制网又名基桩控制网，为无碴轨道的铺设和运营维护提供控制基准。

CPⅢ控制点高程测量起闭于二等水准基点。测量方式采取以下方式：

CPⅢ点与CPⅢ点之间的水准路线，一般采用下图所示的水准路线形式进行。这样的水准路线，可保证每相邻的四个CPⅢ点之间都构成一个闭合环，如图1所示。

2 数据处理流程

平差计算流程如图2所示。

3 CPⅢ高程网平差数据处理方法

3.1 水准测量和三角高程测量的先验误差分析

3.1.1 水准测量的先验中误差

以天宝DINI03电子水准仪为例，其标称误差为0.3mm/km，即每公里往返侧中误差为0.3mm，根据协方差传播率，S公里的水准观测值的单位权中误差为0.3■mm。

3.1.2 全站仪三角高程测量值的先验方差

全站仪三角高程测量值可以用S×sin？兹表示，其中S为斜距，θ为高度角，对其取全微分有

dSsin？兹=sin？兹dS+Scos？兹d？兹，则方差为

D△H=sin2？兹？滓S2+S2cos2？兹？滓？兹2

若后视的实测高差△H1=S1sin？兹1，前视实测高差△H2=S2sin？兹2，根据协方差传播定律

？滓2H1-H2=sin2？兹1？滓■2+S12cos2？兹1？滓？兹■2

+sin2？兹2？滓S■2+S22cos2？兹2？滓？兹■2（1）

3.2 概略高程推算

根据实测高差和已知点高程来推算未知点高程。

（1）初始化概略高程数组，概略高程数组包括点号和对应的高程，将已知点的信息加入该数组。

（2）将实测高差的首尾点的点号和概略高程数数组的点号进行比较，若首尾两个点的点号都能在数组中找到，则转入下一个高差，若都不能找到，则将该高差进行下一轮比较，若只能找到一个，根据高差计算另一个点的概略高程，并将该点和高程加入概略高程数组。

（3）反复进行步骤2，直至推算出所有待求点的高程。

3.3 高差平均值的计算及高差观测值中误差的计算

由于在CPⅢ高程网中，相邻环的公共边需要观测多次，因此需要计算该公共边的高差平均值及观测次数，并根据每公里单位权方差及测量次数确定高差观测值的先验中误差。

3.4 高程控制网误差方程的建立及解算

若1、2两点的观测高差为L1，1、2点的估算高程为h■■，h■■，根据间接平差理论有

L1+v1=H■■+■2-H■■-■1

整理得

v1=-■1+■2-（L1+H■■-H■■）（2）

H■■和H■■分别是1、2号点的估算高程

若1号点已知

则有

v1=■2-（L1+H■■-H■■）（3）

若2号点已知

则有

v1=-■1-（L1+H■■-H■■）（4）

由于高程网误差方程的解算采用间接平差，和普通水准网相同。

3.5 赫尔墨特方差分量估计

3.5.1 方差分量估计公式

间接平差的基本公式为

■=■+■

设在L中包含两类独立的观测值■和■，它们的权分别是■和■，并且P12=0，它们的误差分别为

且有下列关系式L=L■L■， ， ，

N=BTPB=B1TP1B1+B2TP2B2=N1+N2

W=BTPL=B1TP1L1+B2TP2L2=N1+N2

一般来说第一次平差给定的两类观测值的权是不恰当的，或者说它们所对应的单位权方差不相等，令其分别为？滓■■和？滓■■，则有

方差分量估计的目的是利用各次平差后的改正数的平方和V1TP1V1及V2TP2V2来估计？滓■■和？滓■■，含两类观测值按间接平差时的赫尔墨特估算公式为

式中

，

赫尔墨特估算公式的解为

■=S-1W？兹（6）

3.5.2 方差分量估计的迭代计算步骤

（1）将观测值按等级或者不同来源分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值P1，P2，…，Pm；

（2）进行第一次平差，求得ViTPiVi；

（3）按照方差分量估计公式进行第一次方差分量估计，求得个类观测值单位权方差的第一次估值■■■，再依下式定权：

（7）

式中c为任一常数，一般选■■■中的某一个值。

（4）反复进行第二项和第三项，即进行：平差——方差分量估计——定权后再平差，直至■■■=■■■=…■■■。

4 计算实例

4.1 平差计算数据（见表1、表2、表3）

表1 CPⅢ网水准仪测量高差

表2 全站仪测量数据

表3 已知点高程

4.2 平差计算结果

4.2.1赫尔墨特方差分量估计平差结果

第1次估计，方差分量为（mm2）：

0.207396071452008

284.539293329161

第2次估计，方差分量为（mm2）：

0.158446272530325

0.445946111317554

第3次估计，方差分量为（mm2）：

0.15750501903406

0.168733564833184

第4次估计，方差分量为（mm2）：

0.157484211476305

0.157897868182501

第5次估计，方差分量为（mm2）：

0.157483469785749

0.157498670643661

后验单位权中误差0.3968mm/km。

4.2.2 最小二乘法与赫尔墨特方差分量估计的平差高程较差

通过以上对比可以发现方差分量估计平差的结果和最小二乘平差结果差异较大，特别是全站仪的高差改正数及中误差，这是因为初始权不恰当造成的。

5 结束语

由于目前国内的平差软件在进行高程网平差时，一般仅考虑水准仪观测值，在定权时根据距离定权，而难以对于混合水准网中全站仪高差观测值进行准确定权，文章通过对水准仪和全站仪观测值的误差来源分析来确定先验权，然后通过赫尔墨特方差分量估计来准确确定两类观测值的权比并进行平差。较好地解决了混合水准网中不同类观测值的合理定权问题，该方法是国内高铁领域的首创。文章中提供的模型还存在如下不足：

（1）在进行全站仪三角高程测量误差来源时，未考虑大气折光系数，由于CPⅢ控制网全站仪高差测量仅采用单向观测，大气折光系数对高差测量值将产生一定影响，因此该模型仅适用于边长较短的情况。需要对模型进行改进，设法消除大气折光系数的影响。

（2）未对已知控制点的稳定性进行分析，作者考虑后期对程序加入拟稳平差的功能。

参考文献

[1]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉大学出版社，2003.

[2]崔希璋，刘大杰，等.广义测量平差[M].武汉大学出版社，2009.

[3]刘大杰，陶本藻.实用测量数据处理方法[M].测绘出版社，2000.