基于MATLAB优化工具箱算法的深沟球轴承的优化设计

廖东升 卓明胜 何伟光 蔺维君

(珠海格力电器股份有限公司 广东珠海 519070)

MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematical、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中，在科学计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域[1]。在空调领域，深沟球轴承主要用在商用空调的风机和电机中。目前，轴承的失效在商用空调的故障率方面占据了很大的比重，轴承的磨损和发热是轴承失效的重要原因。因此，我们寻求一种方法来优化轴承的结构，降低轴承失效率，提高商用空调的质量和使用寿命。

1 MATLAB优化工具箱描述[2]

MATLAB优化工具箱可以求解线性、非线性最小化、最大和最小化、二次规划、半无限问题、线性、非线必方程（组）以及线性和非线性最小二乘问题。另外，MATLAB优化工具箱还提供线性和非线性最小化、方程求解、曲线拟合以及二次规划问题的求解方法。

1.1 线性规划

线性规划标准形式为：

其中：f—目标函数；A—不等式约束函数的系数矩阵；b—不等式约束函数的常数向量；Aeq—等式约束函数的系数矩阵；beq—等式约束函数的常数向量；lb—设计变量下限；ub—设计变量上界。

MATLAB 优化工具箱中,求解线性规划的linprog 函数标准形式为：

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

其中,x—最优解；fval—最优函数值；options—设置优化选项参数。

1.2 非线性规划

非线性规划问题包括无约束多元函数极小值和有约束函数极小值问题。

1.2.1 无约束多元函数极小值

无约束多元函数极小值标准形式为：

求解无约束多元函数极小值的fminsearch函数标准形式为：

[x ,fval]=fminsearch (fun, x0, options, P1,P2,……)

其中,P1,P2—函数fun的附加参数。

1.2.2 有约束多元函数极小值

有约束多元函数极小值标准形式为：

其中，C(x)—等式约束函数的返回向量；Ceq(x)—不等式约束函数的返回向量。

求解有约束多元函数极小值的fmincon函数标准形式为：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,……)

其中，nonlcon—非线性约束函数的调用函数。

2 深沟球轴承的优化设计[3]

深沟球轴承是最具代表性的滚动轴承，用途广泛。适用于高转速甚至极高转速的运行，而且非常耐用，无需经常维护。该类轴承摩擦系数小、极限转速高、结构简单、制造成本低，易达到较高制造精度。尺寸范围与形式变化多样，应用在精密仪表、低噪音电机、汽车、摩托车及一般机械等行业，是机械工业中使用最为广泛的一类轴承。在电器行业领域，深沟球轴承也可以用在商用空调风机、电机等部件中。

2.1 优化设计变量和目标函数

深沟球轴承的摩擦力矩是其磨损和发热量的体现，把摩擦力矩作为目标函数，影响这个目标函数值的主要因素有滚珠直径、滚珠所在圆的直径，滚珠数量以及滚道位置角等几个参数，把这些参数作为设计变量，寻找摩擦力矩最小时的设计变量的最优解。

表1 优化结果对比

2.1.1 设计变量

其中：d—滚珠直径；D—滚珠所在圆的直径；Z—滚珠数量；α—滚道位置角。

2.1.2 目标函数

目标函数是设计问题寻优的准则和基础。本文以摩擦力矩最小为目标函数，则有：

式中，M—摩擦力矩；Fa—轴承的轴向载荷；Fr—轴承的径向载荷。于是，目标函数为：

2.2 约束条件的建立

（1）滚珠的接触强度条件：

式中，HB为布氏硬度，于是，约束函数为：

（2）设计结构尺寸条件：

约束函数为：

3 优化实例和结果分析[4]

已知，轴承轴向载荷Fa=1000N,轴承径向载荷Fr=2500N。应用MATLAB优化工具箱函数fmincon来求解最优解。

3.1 编写MATLAB优化设计程序

3.1.1 主程序

x0=[13 220 40 43]；%设计变量的初使值；

lb=[6 40 5 30]；%设计变量的下限值；

ub=[14.5 250 200 60]；%设计变量的上限值；

[x,fval]=fmincon(@xiul8_4,x0 ,[],[],[],[],lb,ub,@fcon). %求解程序

3.1.2 目标函数子程序

function f=xiul8_4(x)

f=0.04*((1.5*1000+1.5*2500*tan(pi/180*x(4)))/x(3)/sin(pi/180*x(4)))*x(1)/x(2);

3.2 优化结果

x(1)= 12.9697；%滚珠直径%

x(2)= 250.0000；%滚珠所在圆的直径%

x(3)= 45.8762；%滚珠数量%

x(4)= 35.3921；%滚道位置角%

f= 0.3252；%摩擦力矩%

3.3 优化结果分析

由表1可以看出，优化结果是令人满意的，与优化前相比，滚珠所在圆直径增大了12%，滚珠数量增加了6个，滚道位置角减小了17.7%,摩擦力矩减小了25%。通过优化，使摩擦力矩明显减小，有效地降低了轴承磨损和发热量，从而说明MATLAB对深沟球轴承进行优化是可行的。

4 结语

MATLAB软件具有优越的计算功能和优化功能，应用MATLAB的优化工具箱功能解决生产实际中的单目标多约束非线性规划或者多目标多约束非线性规划问题，可以大幅度提高设计和计算的速度和效率，是解决和处理设计问题的有效工具。将这种方法应用于商用空调中，可以有效延长轴承的寿命，减小空调的损坏机率，减少售后维修率，对于空调品质的改善可以起到重要的作用。

[1] 周灵.详解MATLAB工程科学计算与典型应用[M].电子工业出版社,2010:298-304.

[2] 苏金明，阮沈勇，王永利.MATLAB工程数学[M].电子工业出版社,2005:245-253.

[3] 田璐，孙华，戴跃洪，马宇庭.基于遗传算法的深沟球轴承优化设计研究[J].设计与研究,2010,10(37):12-14.

[4] 朱爱华，朱成九，张卫华.滚动轴承摩擦力矩的计算分析[J].轴承,2008,7:1-3.