一道高考题的多角度解析
——不等式恒成立问题的解决策略

于泉城

（山东省威海市荣成市第四中学，威海264306）

一道高考题的多角度解析
——不等式恒成立问题的解决策略

于泉城

（山东省威海市荣成市第四中学，威海264306）

新课标下的高考越来越注重对学生综合素质的考查，不等式恒成立问题便是一个考查学生综合素质的很好途径.历年各省和全国高考数学卷中频频出现不等式恒成立问题，其形式逐渐多样化.“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、导数、三角、几何等密不可分的知识内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而备受高考、竞赛命题者的青睐.在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”“化归与转化”“数形结合”“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用.本文结合2014年北京理科高考第18题对不等式恒成立问题进行探究，通过一题多解，一题多变，总结出解决此类问题的思维模式和方法，从而引发学生发展思维能力，提高数学素养，引导学生会学数学、学会“数学地思考”.

一、最值（确界）法

二、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有：

三、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用.对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图像形状明显，我们可以作出它们的图像，利用图像直观和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到参数的范围.我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系.下方的位置关系来解决，从数形结合的本质上看与2014年北京卷的这道高考题如出一辙.

图1

图2

上述例子剖析了这道高考中不等式恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然解题方法的表现形式不同，但其实质都是构造函数求函数的最值或借助函数图像之间的位置关系达到解决问题的目的，这也正体现了数学的“统一美”.在解综合性较强的不等式恒成立问题时，关键是要抓住恒成立的实质，以题为本，有时一题多解，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法.同样解决不等式恒成立问题的最值法、分离参数法、数形结合的策略也可以用来解决不等式有解问题，关键在于理解“存在”和“任意”两逻辑词的本质，确定对应的最值及数形结合时的图像位置关系.不等式恒成立问题和有解问题也可以通过“存在”和“任意”的对立转化来解决，相得益彰.总之，不等式恒成立问题（有解问题）的解法思路主要就是转化，把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题.而要让学生做到正确的、灵活的转化，就要求我们在日常教学过程中，经常引导学生对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，在此过程中不断提高数学解题能力，培养学生思维的灵活性和创新性.