哥尼斯堡七桥问题

刁品泉

请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来.规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次.这就是古老的民间游戏——一笔画.

你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？

虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！

为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2.我们把图2看成是由点和线组成的一种集合.图里直线的交点叫作顶点，联结顶点的线叫作边.这个图是连通的，即任何两个顶点之间都有边.很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边连它的，另一类是有奇数条边连它的.一个顶点如果有偶数条边连它，这点就称为偶点；如果有奇数条边连它，就称它为奇点.我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点.另一类是只有二个奇点的图形.图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了.

为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题.

18世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸联结，如图3所示.由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步.渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名的图论问题.

这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案.因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉.欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的.欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示.

于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了.欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点.图上其他的点是“过路点”——画的时候要经过它.

现在看“过路点”具有什么性质.它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点.因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点.

如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点.

如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此，这个图最多只能有两个奇点.

现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成.

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.

事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成.如果是有两个奇点的图形，那么就选一个奇点做起点以顺利地一笔画完.可惜的是，古时候没有人对它重视，没有数学家对它进行经验总结，以及加以研究.

今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题.研究数学问题不应该“为抽象而抽象”，抽象的目的是为了更好地、更有效地解决实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习的一个样板.

（作者单位：江苏省南师附中江宁分校）