一个偶然的发现

陈德华

一、 提出问题

在学习乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2时，老师给出了这样一道题目：若a+b=5，ab=6，则a2+b2=_______，a-b=_______.

老师让我们分组讨论、分析解题的思路，很多同学“连碰带猜”，用特殊值不断进行“试验”. 同组的小王的想法是：因为3+2=

5，3×2=6，所以a=3，b=2，故a2+b2=13，a-b=1. 但同学小李却有不同的看法：如果a=2，b=3呢，那么a-b的值就等于-1了.

有没有一种通法，能直接求出所有满足题意的解呢？老师让我们结合乘法公式进行探究，我们小组的同学经过充分讨论后决定对（a+b）和（a-b）进行平方，因为这样变化后，就会出现a2+b2和ab，从而沟通了它们之间的关系. 我举手提出了我们小组的想法，老师首先充分肯定了我们的思路，并鼓励我们把探究的过程展示出来.

归纳起来就是三句话：两数的平方和等于两数和的平方减去它们积的2倍或两数差的平方加上它们积的2倍；两数和的平方与差的平方之和等于它们平方和的2倍；两数和的平方与差的平方之差等于它们积的4倍.

让我们把问题中的已知条件代入，看结论是否得到验证. 把a+b=5，ab=6代入公式一得：a2+b2=52-2×6=13；再把a2+b2=13、ab=6代入公式二得：13=（a-b）2+2×6，所以（a-b）2=1；若把a+b=5、a2+b2=13代入公式三得：52+（a-b）2=2×13，所以（a-b）2=1；若把a+b=5，ab=6代入公式四得：52-（a-b）2=4×6，所以（a-b）2=1. 所以a-b=±1，结论都能得到验证.

三、 运用结论

课后练习时，我发现还有几道题目可运用公式一和公式二解决，你不妨也来试一试.

通过这节课的探究，我深深地体会到，学习的过程实际上就是一个钻研和探索、归纳的过程，也是一个发现的过程. 可见，学习数学只有享受过程，才能有所收获！

（指导教师：赵 军）