今日说“法”

王国兵

针对同一个图形，从不同的角度计算它的面积，并借助面积相等得到一个代数恒等式的方法，我们称为面积法. 面积法作为数形结合思想中常用的方法，不仅可以验证乘法公式，而且在探求新知的过程中也有着广泛的应用.

一、 引例

引例1 如图1，现有边长为a、b、c的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张，用它们拼成如图2所示的长方形，则可以验证的代数恒等式是_____________.

二、 应用

应用1 求值

【评注】在解题时，我们可以依据条件边读题边画图，由a+b+c=11画出一个正方形，设其边长为11，并在相邻的两边上分别取两点，将正方形的边分为互不相等的三条线段a、b、c，然后分别过这两点作对边的垂线，将大正方形划分为9个长方形，用含a、b、c的字母分别表示出它们的面积后，答案一目了然，其实质就是把面积计算两次.

应用2 因式分解

例2 用图1中给出的若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个宽为a、长为b的长方形纸片，请你拼出一个大长方形（画出示意图），并利用图形间的关系，将多项式2a2+5ab+2b2因式分解.

【分析】由多项式2a2+5ab+2b2，我们可将其分解为2a2、5ab、2b2三个部分，以形释数，把2a2理解成边长为a的正方形纸片2张，5ab理解成宽为a、长为b的长方形纸片5张，2b2理解成边长为b的正方形纸片2张，通过实验操作拼图如下（图4），从整体（大长方形）来看，其面积可以表示为：（a+2b）（2a+b），而这个长方形就是由零散的九张纸片拼成的，利用其前后面积相等关系可以得到2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）.

【评注】如果我们不通过拼图直接对多项式2a2+5ab+2b2进行因式分解，很多同学显得无从入手（可用“十字相乘法”），但是借助题干中的拼图经验，解决问题便可从容许多，所以我们在解题时需要多关注知识前后之间的联系.

三、 拓展

拓展1 以直角三角形为载体

例1 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=3，AC=4，AB=5，试求CD的长.

【分析】从计算Rt△ABC面积的思路出发，我们可以以BC为底、AC为高进行计算，也可以以AB为底、CD为高进行计算，易得：

AC·BC=AB·CD，

即×4×3=×5·CD，∴CD=.

拓展2 以平行四边形为载体

例2 如图6，平行四边形ABCD的周长为28，DE、DF分别为AB、BC边上的高，若DE=3，DF=4，求AB、BC的值.

【分析】平行四边形ABCD的面积等于底乘高，我们可以把AB作为底，也可以把BC作为底，利用其面积“自等”关系列出方程求解.

即S平行四边形ABCD=AB·DE=BC·DF，

若设AB=x，则BC=14-x，

∴3x=4（14-x），

解之得x=8.

∴AB=8，BC=6.

【评注】所谓“高不离积、积不离高”，就是见到高要能想到计算面积，反之，计算面积也离不开高. 把面积计算两次是面积法的根本，针对同一个图形，从不同的角度有两种不同的计算面积的方法，并以此建立等式关系解决问题，所以我们要善于捕捉和运用这样的条件.

由以上分析我们不难看出，面积法作为一种常见的数学方法在本章节的学习中有着重要的应用，以图形为载体，从不同角度对图形面积进行计算，给代数恒等式注入了生命与活力，体现了数与形的完美结合. 我们在今后的学习中一定要注意掌握与运用，以期举一反三、触类旁通.

（作者单位：江苏省东台市许河镇中学）

本文为“初中数学趣导——乐学教学模式的研究”课题成果之一，该课题系盐城市教育科学“十二五”规划课题. 项目编号为2014-L-023，主持人：李长春、赵军.