谈幂的运算中数学思想的运用

王长颖

在幂的运算的学习中，下列几种数学思想方法有着广泛的应用.

一、 转化思想

在幂的运算中转化思想的运用最为广泛，如将不同的底数的幂转化为同底数的幂、将不同的指数的幂转化为同指数的幂、将不相同的幂转化为相同的幂、将一般底数的幂转化为特殊底数的幂等.

【分析】已知等式的两边并不同底，可考虑将它们转化为同底，再根据“同底数的幂相等，指数相等”建立方程，求出x的值.

二、 逆向变换思想

逆向变换思想也是幂的运算中最为常用的数学思想，幂的五个运算法则都可以逆向使用，对于有些幂的运算，根据题目的结构特征，在运算中综合幂的正、逆运算法则，可使解题过程简捷.

【分析】显然目前我们无法直接求出x、y的值. 这里可考虑逆向运用同底数幂的乘法和幂的乘方，即am+n=am·an和amn=（am）n（m、n都是正整数），将问题进行转化.

三、 整体思想

在含有条件的幂的求值问题中，经常会遇到无法直接求出字母所表示的值的问题，对于这类问题最常用的方法就是利用整体思想，将其局部视为一个整体，再寻求解决问题的途径.

【分析】一个方程两个未知数，显然这样的m、n值无法确定，可从所求的式子考虑，先化为同底，再利用整体思想来解决.

四、 分类讨论思想

涉及有关1的幂和0次幂问题时，有时要注意利用分类讨论思想，逐一进行考虑.

例4 已知ax=1，则a与x应满足的条件是什么？

【分析】因为1的任何次幂是1，-1的偶数次幂是1，任何非0数的0次幂也是1，因此要分三种情况进行考虑.

解：（1） 当a=1时，指数x可取任何有理数；

（2） 当a=-1时，指数x必须取偶数；

（3） 当x=0时，底数a可取不为0的任何有理数.

（作者单位：南京市第十七中学）