渗透数学思想，提升解题能力

宋招春

摘 要：常用的逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用在数学中占有非常重要的地位，在高考中占有极为核心的分量，因其具有知识面宽、思维丰富等特点，常令学生望而生畏，出现欲速则不达、下手易错等现象。以数学思想方法为统领，可突破解题思维防线，从而提升此类试题解题能力。

关键词：数形结合；化归与转化；函数与方程

一、数形结合思想

数形结合思想，即用“数”微观来研究“形”的性质，用“形”的直观来探寻“数”的关系，其运用要注重“数”与“形”的有效转化。因圆锥曲线研究本身具有代数与几何的双重角色，故数形结合思想显得特别重要，而导数在研究函数的变化趋势时若借助于“形”，则易提供解题思路。

例1.已知双曲线x2-y2=1上一点P，F1、F2是双曲线的左、右焦点，若△F1PF2是直角三角形，则这样的点P有（ ）个。

A.0 B.2 C.3 D.4

分析：△F1PF2是直角三角形，可有三种情况：∠P为直角，∠F1为直角，∠F2为直角，当∠P为直角时，可联想到以F1F2为直径的圆，当∠F1，∠F2为直角时，作图易得结论。正确答案为D。

小结：解题时，抓住△F1PF2有一内角为直角这一关键条件，依托线与双曲线的交点来确定问题的答案，充分体现了数学解题中数形结合思想的实效性。

二、化归与转化思想

化归与转化的思想是指在研究数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略。化归与转化思想的原则是将复杂问题化为简单问题，将较难问题转化为较容易的问题，将未知问题化为已知问题。

例2.设p：log1（x-3）>0，q：6x2-5x+1>0，则q是p的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分必不必要条件

分析：首先将命题p，q对应的式子进行简化，使其为最简形式，然后再将“求q是p的什么条件”转化为“求p是q的什么条件”。最后利用集合的“小充分大必要”原理进行判断，并得出结论。正确答案是A。

三、函数与方程思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

例3.已知函数f（x）=x3-ax2+b在（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1。（I）求a、b的值。（II）设函数g（x）=-（1+k）x2，当x∈（0，3），K≥0时，是否使函数f（x）的图象总在g（x）的下方，若存在，则求K的正整数值，若不存在，请说明理由。

分析：（I）由导数的几何意义及切线方程，可得两个方程，即可解出a，b的值。（II）解题先利用导数探究单调性，后确定最大值，以最大值是否小于零来判断f（x）<0恒成立与否。

小结：此题的第一部分体现方程思想，即寻找关于a、b的等式关系，解之即可，第二部分体现了函数思想，以函数的图象来展现问题的本质，为解题提供思维。

编辑 张珍珍