Langford 系统 Hopf 分岔分析

徐　璐,饶晓波（甘肃省兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州　730000）

Langford 系统 Hopf 分岔分析

徐璐,饶晓波
（甘肃省兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州730000）

摘要：该论文讨论了在Langford系统中的Hopf分岔情况。根据Hopf分岔的定义求解系统的平衡点以及Hopf分岔点，并且通过直接求周期解法以及后继函数判别法判断了分岔点的类型。通过引入Lyapunov稳定性理论对本文的结论给予了理论支持，最后通过Matlab仿真证明了结论的正确性。

关键词：Langford;Hopf分岔；平衡点；Lyapunov理论

1　引　言

分岔理论作为一种重要的数学方法，是分析非线性系统的有力工具。到目前为止，分岔研究取得了有目共睹的成果，并在许多领域得到了广泛的应用。Hopf分岔是动力系统的一类重要的动态分岔.本文研究下列Langford系统的Hopf分岔：

（1）式中的μ为系统的实变参数，该系统具有很强的非线性动力学行为，丰富的分岔现象。

2　Hopf　分岔

以下列系统模型为例：

Hopf分岔是指方程（2）的雅克比矩阵的特征值中有一对复特征值，随着分岔参数的变化，它们的实部由负变为正，且当μ=μ0时，满足下列条件：

在非双曲平衡点附近发生的分岔，其对应的失稳形式是周期性的振荡发散失稳。

3　Hopf分岔分析

若用Φ(x,μ)来表示f(x,μ)和g(x,μ)，平衡点方程为:

Φ(x,μ)=(f(x,μ),g(x,μ))=0

那么满足下列方程组的平衡点是方程（2）的Hopf分岔点：

方程（4）的第一式是平衡点方程，第二式表明在分岔点有一对共轭纯虚特征值。

可得到对于任意μ，有平衡点(0,0,0)和(0,0,μ)。

在平衡点(0,0,μ)处，Jacobian矩阵为：

对应的特征值为λ1=-μ,λ2,3=μ-1±i。

根据直接求周期解法和后继函数判别法可得到：当0<μ<1时，平衡点(0,0,μ)渐近稳定；当μ>1时，平衡点(0,0,μ)不稳定。

4　Matlab仿真

系统的分岔图和Lyapunov指数图：

5　结论

结论表明Langford系统确实具有丰富的动力学特征，在系统进入混沌之前，会先后经历倍周期分岔、Hopf分岔、鞍结点分岔及其他分岔，致使系统最后进入混沌状态.

参考文献：

[1]赵兴勇，陈秀彬，苏晓琳.电力系统电压稳定性研究与分岔理论[J].电工技术学报,2008.

[2]马知恩,周文仓.常微分方程与稳定性方法[M].北京：科学出版社,2003:205.

[3]刘素华.博士学位论文[D].长沙：湖南大学,2008.