一种快速过弯路线及其稳定性研究

尤 霖，孙 涛，郑松林，张振东，孙跃东

（1.上海理工大学 机械工程学院汽车工程研究所，上海 200093；2.机械工业汽车底盘机械零部件强度与可靠性评价重点实验室，上海 200093）

0 引 言

在F1方程式赛车及智能车竞赛中，单圈时间最小化是追求的最终目标，如何缩短过弯时间是其关键研究问题之一。国内外许多学者对单圈时间优化进行了研究。常见的有两种方法：准稳态法和瞬态最优方法。本文从道路几何关系的角度来分析出一条快速转弯的路径，并通过Matlab进行仿真，验证了其在过弯过程中的稳定性。

1 过弯路线验证

在一般的赛车运动中经常看到赛车手在转弯时基本按照“外－内－外”的转弯路线，即在刚进入弯道的时候，不断转向，在弯中不断贴着靠近赛道内测行驶，在与赛道内侧大致相切后开始加速，最后贴着赛道的外侧离开弯道。

假设赛车与地面存在一个恒定的最大静摩擦力Fmax＝μmg，并且赛车的性能优越，在速度不太高（与赛车自身的极限速度相比）的情况下总可以达到这个最大静摩擦力，并且该力的方向可以任意选择（熟练车手可以同时协调好刹车、油门、方向、档位来实现）。基于这些假设，首先可以证明当赛车以最大静摩擦力，即车轮与地面之间达到不滑动的临界状态，过弯的时间是最短的。

假设摩擦因数为μ，则最大静摩擦力Fmax＝μmg，设转弯线速度为v，转弯半径为R，弯道半径为r，弯道随影的圆心角为2θ，直道长度为L且足够长，则行驶时间分为三段，转弯时间为t1，直道减速时间为t2及直道匀速时间t3，设总时间为T，车道宽度为d。

1.1 弯道圆弧为任意2θ角

弯道圆弧为任意2θ角的情况，如图1所示。

图1 定曲率任意角弯道

由圆周运动规律知

解得

易知

故总时间T为

求导可得

分如下几种情况讨论：

（1）0＜θ＜π／6

这时θ－1＜0，1－2sinθ＞0；

在R＝（1－θ）2／（μg（1－sinθ）2）时取极大值，也是最大值，那么研究最短时间就得考虑R所能取得的最大和最小值，R所能取得的最小值是r（记为Rmin），最大值是R＝r＋d／（1－cosθ）（记为Rmax）；

（2）π／6≤θ≤1

这时T随R增大而递减，所以在R取得最大值时T取得最小值，

（3）θ＞1

所以在R＝（1－θ）2／μg（1－2sinθ）2时有极小值，也是最小值。则：

1.2 弯道圆弧为直角

弯道圆弧为直角的情况（θ＝π／2），如图2所示。

图2 定曲率直角弯道

由圆周运动规律知

解得：

易知：

对转弯半径R求导可得

即R取最大值时总时间最小。

由赛道模型图可知R的最大值为

故赛车行驶最短时间为

因为在比赛中弯道半径r，汽车最大速度v0，摩擦因数μ都是确定的，所以只需根据这些确定的条件得出转弯半径最合适的值就可以最短的时间过弯道。

2 车辆动力学模型的建立

本文采用二自由度单轨车辆操纵动力学模型，如图3所示，该非线性模型的二个自由度分别为侧向运动、横摆运动。

车辆在道路上行驶的运动方程为：

式中，m为 整车质 量；vx、vy分别为纵 向、侧 向 速 度为横摆角速度；a、b分别为质心至前、后轴距离；Fyf、Fyr分别为前、后轮总侧向力；I为车辆横摆转动惯量。

图3 车辆动力学模型

前后轮侧偏角αf、αr由下式计算：

在侧偏角较小的情况下，

取系统状态变量为：X＝（v，r）T，系统输入为前轮转角 ，则表达成系统运动微分方程可写成如下标准状态空间方程的形式：

其中，

3 仿真分析与评价

横摆角速度和侧偏角是描述车辆动力学稳定性的最佳状态变量，所以本文通过比较横摆角速度和侧偏角的实际值与名义值来确定汽车过弯时的稳定性。应用Matlab／Simulink软件搭建模型进行仿真。采用Carsim软件中某一车辆参数如下：m＝1 529.98 kg；L＝2.77 662 km；a＝1.13 906 m；b＝1.63 716 m；Caf＝－46 560.5；Car＝－24 955.5；Iz＝4 607.47。进行仿真得到直角弯上汽车的行驶轨迹，以每隔1 s的时间记录汽车的轨迹，如图4所示。可见，在不到10 s的时间内车辆就可以完成入弯、过弯和出弯，比一般情况下，减少了时间。

图4 行驶轨迹图

图5和图6分别为在过直角弯情况下，车辆的质心侧偏角和横摆角速度。由图可知，在过弯过程中，质心侧偏角和横摆角速度有一定的变化，但是变化范围是很小的，可以认为在过弯过程中车辆是稳定的。

4 结 论

图5 质心侧偏角

图6 横摆角速度

针对二自由度单轨车辆模型，本文提出了一种外内外的过弯路径优化。根据相似理论，用飞思卡尔智能模型车进行了算法验证试验，结果表明，所设计的过弯时间优化控制算法，在保证车辆行驶稳定性的前提下，能够有效减少过弯的时间。

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