关于利用光电效应元件作为直流电源的若干讨论

常 亮

（北京教育学院宣武分院 北京 100053）

汤家新

（北京市第十五中学 北京 100054）

2015年高考北京理综试卷的第24题是一道利用光电效应元件作为直流电源的综合题目.题目继承了北京卷这几年注重考查物理概念、规律深入理解的特色，也秉承了近几年利用微观机制解决宏观现象的传统，是在前几年改革突破基础上的又一次有益尝试.

【原题】（2015年高考北京理综卷第24题）真空中放置的平行金属板可以作为光电转换装置，如图1所示，光照前两板都不带电.以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出.假设所有逸出的电子都垂直于A板向B板运动，忽略电子之间的相互作用.保持光照条件不变，a和b为接线柱.已知单位时间内从A板逸出的电子数为N，电子逸出时的最大动能为Ekm，元电荷为e.

图1

（1）求A板和B板之间的最大电势差Um，以及将a和b短接时回路中的电流I短.

（2）图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r.

（3）在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U，外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为ΔEk.请推导证明：P＝ΔEk.

（注意：解题过程中需要用到，但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）

分析：如果仅以解题为目的来看待此题，只要对相应的物理概念有正确的理解，那么解决此题应该是没有什么问题的.

但如果我们抛开解题不谈，仅借助题目给我们建立的物理模型，来研究这个过程中的具体细节，却会发现很多值得思考的问题：

（1）在这样的一个电路中能量到底是如何转化的？

（2）这里的“电动势”应如何理解？其数值和断路电压是否相同？

（3）题目中所涉及的“内阻”具体是由什么机制造成的？决定“内阻”大小的因素是什么？

为了回答这几个问题，我们首先看题目给出的短接情况.根据外电路短路的特点，我们可以确定两点：（1）从能量角度讲电源中非静电力所做的功将全部消耗在内阻上.（2）A，B两板等势.再结合本装置的特点，我们容易发现A板中的电子首先吸收了一份光子能量hν，在逃离A板的过程中就消耗掉了W＋ΔE1的能量，其中W是逸出功，相当于脱离金属对电子的“势阱”所消耗的能量，ΔE1是电子在逃离金属过程中与其他原子实相碰所生的热①这里将ΔE1看做是“电子在逃离金属过程中与其他原子实相碰所生的热”完全是一种经典金属理论的猜测.现代量子力学告诉我们，当金属发生光电效应时溢出电子的动能几乎均为最大初动能，极个别的电子动能小于这个数值.因此在这里做这个假设也只是对本题“内阻”的一种解读，并不作为对光电效应的一种理解..电子脱离A板后，由于A，B两板等势而匀速通过A，B两板之间的区域，然后与B板发生相互作用，再沿导线无能量损失地回到A板，进入A板的过程也就是回到“势阱”的过程.

经过这样一次循环我们可以发现，整个过程中能量只消耗在两个地方：一个是电子逃离A板时与其他原子实相碰所生的热，一个是与B板发生相互作用时损失的能量.又因为外电路短路，全部能量只能消耗在内电路，所以电子在涌向B板时所具有的动能一定要全部消耗在与B板发生相互作用的过程中，即电子将与B板发生完全非弹性碰撞丧失全部动能.因此从能量角度讲这两部分能量损失（从A板逸出，与B板撞击）就代表了此电源的“内阻”.这里值得说明的是逸出功W，因为电子经过一次循环又回到“势阱”所以整体来看这份能量并没有发生转化，不算是能量消耗.

那这两部分能量消耗到底消耗了多少能量呢？如果我们用ΔE2来表示电子与B板作用所消耗的能量的话，不难发现如下的能量关系

因此

因为从能量角度讲电源中非静电力所做的功将全部消耗在内阻上.所以ΔE1＋ΔE2＝hν－W就是电源对每一个电子所做的非静电力的功.这与电子逸出A板时的动能无关，对于任何一个光电子都相同.因此从电源电动势的定义出发与题目中所算的断路路端电压相同.

在外电路是通路的情况下，由于外电阻R的存在，A，B两板间必然存在U＝IR的电势差，因此电子由A板逸出后必将减速通过两板，此时电子的动能减少，电势能增加，完成了非静电力做功转化为电势能的过程.这部分增加的电势能又通过外电路转化为其他形式的能，这便是题目中第三问所要证明的问题.但与此同时，因为A，B两板此时的电势差一定比第一问所求的最大电势差小，因此电子虽然在两板间减速前进，但在到达B板之前仍有剩余动能，这部分动能在电子与B板撞击过程中转化为其他形式的能.这份由于撞击而损失的能量再加上电子逸出时由于生热所消耗的能量也就是此时内阻消耗的能量.至此可以看出，短路与通路在解释内阻成因及电动势大小时是一致的.（此模型的能量转化与原电池恰恰相反.原电池中电势的跃迁发生在两个极柱附近，内阻由两极间的电解液构成.而这里电势能的增加是在两板间逐渐形成的，而内阻却是在两极板附近突变造成的.）

解决了内阻的形成机制，我们再来看看影响内阻的因素.按题目给我们的线索，内阻在光电效应的背景下Um由电子的最大初动能决定，也就是由光的频率和A板材料决定；I短即单位时间内逸出电子数，与光强和A板材料有关.由此可看出“阻碍”虽是由A，B两板造成的，但内阻r的大小却主要由入射光的参数决定.不仅如此，如果进一步思考就会发现，严格说来确定的是电路处于短路状态下的内阻，至于通路状态下的内阻呢？其阻值是否与短路情况相一致呢？在通路情况下这里的Um仍指电动势，在不改变内电路装置结构及参数，只改变外电路阻值的情况下，Um恒定；UAB指通路状态下A，B两板间的电压；I指通路状态下的实际电流.正如前面所分析的，当电路处于通路的情况下，电子不会像短路时匀速由A到B，必将做减速运动，而且不仅做减速运动，由于电子从A板逸出时的动能并不都是Ekm，因此那些初动能小的电子必将没有机会到达B板.这样一来单位时间内由A到B的电子数目就会减小，也就是说电流I会减小.假设当外电路电阻取某值时，UAB恰为，若要此时的内阻r与短路时相同，就要求单位时间由A到B的电子数目是即初动能大于的电子数目要等于假设当外电路电阻取某值时，UAB恰为若要此时的内阻r与短路时相同，就要求单位时间由A到B的电子数目是即初动能大于的电子数目要等于.因为只是特例，不过以此为例我们可以看出，若要通路时的内阻恒定且与短路时的内阻相同，就要求逸出电子的动能是均匀分布的，即每一能量值下对应的电子数目一样多.

其关系如图2所示，其中横轴是逸出电子的序列，向上的纵轴是逸出电子的动能.如果逸出电子的动能是均匀分布的，将所有N个电子按能量由小到大排列其Ek－n关系就应该是一条直线.向下的半轴代表电子从A板逸出时生热所消耗的能量，显然逸出时所携带动能越小就说明在逸出过程中损失能量越多，对于任何一个电子都存在Ek＋ΔE1＝hν－W.由此可知，当外电路短路时内阻消耗的能量就是图中上、下两个大三角形的面积（下面的三角形代表从A板逸出时消耗的能量，上面的三角形代表与B板撞击时消耗的能量）.当UAB恰为时只有能量大于的电子可以到达B板，而且这些电子在由A到B的过程中都要损失因此在从A板逸出和与B撞击过程中，消耗在内阻上的能量仅为图中两阴影面积（下面的阴影代表从A板逸出时消耗的能量，上面的阴影代表与B板撞击时消耗的能量），此时的阴影面积恰好是两个大三角形面积的的结果.而且由图可知，此时外电路消耗的能量恰好为两个大三角形面积的是内阻消耗能量的2倍，与分压关系相符.

图2

因此，无论从U－I关系还是能量关系上看，若要内阻r恒定，都要求逸出电子的动能是均匀分布的.这也是本题的一个重要隐含条件，由于解题过程并不需要这个条件，所以题干中并没有给出，但作为理解此装置工作细节的重要条件，教师对此还应引起足够的重视.

综上所述：

（1）在本电路中电势能来自于电子在A，B两板间减速时消耗的动能.

（2）这里的“电动势”由光子能量和逸出功共同决定，其数值和断路电压相同.

（3）题目中所涉及的“内阻”具体是由电子在A，B两板内与原子实相互作用生热所致.决定“内阻”大小的因素是入射光和金属参数以及逸出电子的能量分布.