一维双极量子流体动力学等温模型稳态解的唯一性

董建伟，张又林

（1.郑州航空工业管理学院数理系，河南郑州450015；2.郑州航空工业管理学院图书馆，河南郑州450015）

一维双极量子流体动力学等温模型稳态解的唯一性

董建伟1，张又林2

（1.郑州航空工业管理学院数理系，河南郑州450015；2.郑州航空工业管理学院图书馆，河南郑州450015）

研究一个耦合的四阶椭圆方程组此方程组来源于一维半导体器件中双极量子流体动力学等温稳态模型.在某些条件下利用一些不等式技巧证明了此方程组解的唯一性.

量子流体动力学模型；稳态解；唯一性

1 主要结果

众所周知，量子流体动力学模型是重要的半导体宏观量子模型之一.由于半导体器件的宏观模型便于给出合适的物理边界条件，也便于进行数值模拟，所以这一类模型是众多数学家和物理学家的研究热点.文献［1-6］研究了一种耗散的量子流体动力学模型，即量子Navier-Stokes方程组.文献［7-10］研究了一种双极量子流体动力学模型.由于双极量子流体动力学模型具有非线性、耦合性及高阶性的特点［11］，所以其解的存在性及唯一性的研究比较困难.

文献［10］在一维有界区域（0，1）上研究了双极量子流体动力学等温稳态模型解的存在性，作者通过变形把该模型转化为一个四阶椭圆方程组的混合边值问题：

其中：eu，ev分别表示电子浓度和空穴浓度；δ＞0表示标度的普朗克常数；C（x）表示带电粒子杂质的浓度；常数j0，j1，τe，τi分别表示电子电流密度、空穴电流密度、电子动量弛豫时间和空穴动量弛豫时间.文献［10］的主要结果是如下定理：

定理1 设C（x）∈L2（0，1，其中M1，M2分别是

和

的解，则问题（1）—（4）存在弱解（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1），且

本文将证明问题（1）—（4）解的唯一性.

定理2 设定理1中的条件成立，且j0，j1，δ，‖C（x）‖L2（0，1）充分小，使得

则问题（1）—（4）的弱解（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1）是唯一的.

注1 由（5）式和（6）式可知，当‖C（x）‖L2（0，1），j0和j1充分小时，M1，M2也会充分小，从而可使（8）式及（9）式中的

2 定理证明

由文献［10］中的引理1知，若（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1）是问题（1）—（4）的一个弱解，则

所以

这里（11）式中用到了M1的定义（见（5）式），从而再由边界条件（3）式，Hölder不等式及Young不等式知，

同理可证

设（u1，v1），（u2，v2）∈H20（0，1）×H20（0，1）是问题（1）—（4）的两个弱解，用u1－u2分别作为

的试验函数，并两式相减得

由（13）式及Young不等式知

由函数f（x）＝ex的单调递增性知

所以再由微分中值定理、（7）式、Young不等式及Poincaré不等式得

其中θ∈（0，1）.由微分中值定理及（7）式，

其中θ∈（0，1）.所以再由（7）式、（13）式、Hölder不等式及Poincaré不等式知

由微分中值定理、（7）式、Hölder不等式及Poincaré不等式知

其中θ∈（0，1）.

由（15）—（19）式可得

同理，用v1－v2分别作为

的试验函数，且两式相减，并进行类似以上的估计可得

由（20）式与（21）式两边相加得

所以再由条件（8）—（9）式知，u1＝u2，v1＝v2.定理2得证.

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Uniqueness of stationary solutions to 1-d isothermal bipolar quantum hydrodynamic model

DONG Jian-wei1，ZHANG You-lin2
（1.Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China；2.Library，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China）

The following coupled fourth-order elliptic system is studied：

The system originates from the 1-d stationary isothermal bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductor device.The uniqueness of the solutions to the system is proved under some conditions by using some inequality techniques.

quantum hydrodynamic model；stationary solutions；uniqueness

O 175.29 ［学科代码］ 110·4740

A

（责任编辑：陶 理）

1000-1832（2015）03-0033-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.007

2014-02-25

河南省科技厅基础与前沿技术研究计划项目（132300410373）；河南省教育厅科学技术研究重点项目（12A110024）；郑州航空工业管理学院青年科研基金资助项目（2013111001，2014113002，2015113001）；航空科学基金资助项目（2013ZD55006）；河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目（2013GGJS-142）.

董建伟（1980—），男，硕士，副教授，主要从事偏微分方程研究.