浅谈定积分的计算方法

李永红

摘 要：本文通过实例，讨论了定积分计算的方法和技巧，有助于提高学生定积分的计算能力。

关键词：定积分；计算

一、定积分计算的重要性

定积分是微积分三大基本运算之一，也是计算重积分、曲线和曲面积分的基础。我们熟知的牛顿——莱布尼茨公式是求连续函数定积分的一般方法，但是在习题中我们经常会碰到所求原函数很复杂或者根本无法求出的情形。因此定积分的计算，除使用求不定积分的换元法、分部积分法等之外，还有自己的特色。这里列举几例供同学们参考。

二、计算定积分的方法

（一）利用定积分的几何意义

例1

解：令x-1=t，原式

对于一些被积函数是分段函数或含绝对值符号等情形，如果被积函数图象易于作出， 可以利用作图简化计算。

（二）利用对称区间上定积分的性质

对称区间上的定积分有偶倍奇零的结论，但当被积函数非奇非偶，且f（x）+f（-x）可化为易于积分的函数，有以下结论：

，

例2

解： 令 ，

原式=

三、利用周期函数定积分的性质

如果f（x）是周期为T（T>0）的连续函数，α为常数，则

。

例3 求

解： 为周期函数，周期为π，则令nx=u，ndx=du，

如果被积函数有周期性，而积分区间又是周期的整数倍，可以用此结论简化计算。

四、利用变量代换

变量代换在定积分的计算中很常见，有根式代换、倒数代换等，技巧性强，解无定法。这里给出两例供参考。

例4 计算

解： 记r=■，令x=■-μ则有

因此， ，

。

例5 计算

分析： 本题除考虑无理代换 外，作代换

x=sin2t计算更简便。

解：令x=sin2t，dx=2sintcostdt。

原式= 。

三、结束语

当然定积分的计算还有幂级数法、待定系数法、二重积分和数值方法等。希望同学们在解题实践中不断总结，提高计算定积分的能力。

参考文献：

[1] 毛纲源.考研数学三常考题型解题方法技巧归纳（第二版）[M] . 武汉：华中科技大学出版社， 2013.

[2] 陈兆斗等.大学生数学竞赛习题精讲.北京，清华大学出版社，2010年.