丝竹背后话力学

武际可

北京大学力学与工程科学系，北京 100871

丝竹背后话力学

武际可†

北京大学力学与工程科学系，北京 100871

就音乐与力学比较密切的关系，从历史发展的角度讨论了音高与振动频率的关系以及弦乐器与管乐器的发声规律。在乐器中，迄今最主要的乐器乃是这两类乐器，亦即丝与竹。最后指出，力学和科学的发展滋润了音乐，而对音乐的研究反过来也丰富了科学本身。

音乐；力学；声音；管乐器；弦乐器

说实在的，音乐是科学同艺术结合的产物。在人类世代追求音乐的过程中出现过许多伟大的演奏家、歌唱家、作曲家和乐队指挥家。当人们享受他们的音乐、歌唱、演奏的同时，别忘记，在他们背后还有许多科学家揭示了声音、音乐和各种乐器的奥秘，如毕达哥拉斯、管子、伽利略、牛顿、伯努利、达朗贝尔、沈括、亥姆霍兹、朱载堉、韦伯等等。

音乐背后的科学问题，首先是力学问题。因为声音的产生和传播本身就是一个典型的力学问题。乐器的研制和改进，无论是管乐器还是弦乐器，抑或是其他乐器，都离不开深入的力学知识。进一步说，音乐不仅仅与力学有关，它是与力学、数学、物理、生理学、心理学、电子学、计算机科学等多学科密切相交叉的艺术领域。不仅如此，就是到今天来说，也不能说在音乐和音响背后的科学道理都完全清楚了。特别是对于研制新的音响设备，对于歌唱的计算机模拟，还有许多困难问题等待研究解决。

本文着重就音乐与力学比较密切的关系，从历史发展的角度谈谈音高与振动频率的关系以及弦乐器与管乐器的发声规律。在乐器中，迄今最主要的乐器乃是这两类乐器，亦即丝与竹。最后，我们还要谈谈，力学和科学的发展滋润了音乐，而对音乐的研究反过来也丰富了科学本身。

1 声音与音调的高低

在弄清楚发声的音高与频率的关系之前，人们都是以弦的长度来度量音高的。弦长一半对应的音高高八度。早在我国的春秋时代，《管子》一书中就记载了“三分损益”的规则，即弦长缩短三分之一，音高高五度，然后再三分后，增长三分之一，就得到比原来高二度的音。如此下去，就得到一系列和谐音。这种标定不同和谐音的关系的方法称为五度相生的规律。在西方古希腊大约同时代的毕达哥拉斯也得到相同的规律。不过，由五度相生的办法不断生出新的和谐音，这样进行十二次，并没有回复到开头那个音高八度的音，而是要差一点。

中国明代音乐家朱载堉(1536—1611)于万历十二年(1584年)首次提出“新法密率”(见《律吕精义》《乐律全书》)。他将一个八度之间的十二个音所对应的弦长，按照将2开12次方，即的比例变化，12个音中每提高一个音，将这个数值幂次提高一次，它的十二次幂正好是2。按照这种将八度音等比分为十二个音的算法，制造出的新法密率律管及新法密率弦乐器，是世界上最早的十二平均律乐器。这才最后解决了这个矛盾。

在中国古代的记载中，宋代陈旸在他所著的《乐书》中说：“凡物动而有声，声变而有音。”在这里，他已经模模糊糊地意识到声音是和物体的运动相联系的。不过把声音和物体的运动精确地联系在一起的第一人，是意大利的科学家伽利略(1564—1642)。他准确地认识到声音是物体的振动经过空气传播的一种波动。他在1638年出版了《关于两门新科学的对话》，这本书一共给出讨论主题的四次对话。在其中第一次对话的末了，作者首先讨论悬挂单摆的摆动，其后讨论弦的振动以及共振问题。

伽利略是怎样得到这一结论的呢？他是这样说的：“当我为了除去黄铜板上的某些污点而用一个尖锐的铁凿子刮它，而且使凿子快速地在其上运动，在多次磨划中，我曾一次或两次听到这块板发出一种相当强且清晰的哨音。更仔细地审视这块板，我注意到一长排精细的条纹，彼此之间平行且等距离地排列着。用凿子一次又一次地磨刮，我注意到仅当这块黄铜板咝咝地发出噪声时所有的标记才都留在上面，而当磨刮没有伴随咝咝声时就丝毫没有这种标记的痕迹。重复这种把戏若干次并且使磨刮的速度时而快时而慢，哨音的声调相应地就时高时低。 我还注意到当音调较高时形成的标记就更紧密，而当音调较低沉时它们就分离得较远。我还观察到，在一次磨刮期间，速度向着极限增加时，声音就变得较尖锐并且条纹变得更密，但总是以这种方式保持一定的尖锐程度和等距。此外，一旦磨刮伴随有咝咝声，我就感觉到凿子在我掌握中颤抖并且一种颤栗通过我的手。简单地说，在凿子的情形下我们看到、听到的和在一种低语紧跟着高声的情形下看到和听到的完全一样；因为，当没有产生音调的呼吸进行时，与发声时在喉和咽喉上部的感觉相比，特别是与使用又低又强的音调相比，人感觉不到喉咙或口有任何讲话的运动。

“有几次我还在小竖琴的弦中观察到有两根与由上述磨刮产生的两个音调同度，并且在那些音调最不同的弦中，我找到两根弦相差一个纯五度。在测量由两次磨刮产生的标记的距离时，我们发现一次磨刮产生标记的45格包含了另一次的30格，这正好是赋值于五度的比例。”

用现在的语言来说，伽利略是利用凿子与铜板之间的干摩擦所产生的噪音，并且通过凿子的痕迹来考察振动频率的。不过这个发现是非常了不起的，因为到伽利略写这本书的时候，可以说是在力学的基本理论体系还没有建立之前的事情，而且弹性体的胡克定律也还没有。他完全是从单摆的类比，纯粹是运动学的考查，并且经过切身体验认识到的。

再后来是英国学者胡克(Robert Hooke，1635—1703)，他设想用一个带齿的旋转轮子，把一张硬纸卡片搁在齿上，而轮子旋转起来时就会发出声响。当轮子旋转的速度变化时，卡片的振动频率随之改变，声音的高低也因之发生变化。胡克的这个想法由法国实验物理学家萨伐尔(Félix Savart，1791—1841)准确实现。这个实验比较直观且令人信服地验证了声音的高低是取决于振动频率的。伽利略虽然在历史上被公认为最早把声音同振动频率联系起来的学者，不过由于他是从单摆比拟，进而从刀具的磨削痕迹得到的，对于大众来说，并不直观。胡克的想法，且由萨伐尔准确实现的实验，既直观又能够直接计算频率，所以才最终确立了声音同振动的关系，并且能够实际地确定音高和频率的定量依从。

2 弦乐器

弦乐器发声频率的最基本要素，是弦长、弦的张力和弦的密度。相同的张力和密度的弦，其音高就决定于弦的长度。所以，小提琴手总是用手指去不断变换弦的振动长度，以奏出美妙的旋律。不过每一样弦乐器，都有它最合适的长度，这也就决定了空弦上的音高。例如：小提琴的空弦长度(或称有效弦长)是328 mm，中提琴的空弦长度是360 mm，大提琴是654 mm，而钢琴上最长的有效弦长弦则有2 m多。

图1 萨伐尔的实验装置

法国科学家梅森(Marin Mersenne，1588—1648)在1625年左右得到弦的频率的经验公式：

式中T是琴弦的张力，ρ是琴弦的密度，l是弦长。该式是1636年在他的著作《和声学大全》中发表的，比伽利略早了两年。不过后来人们研究认定，伽利略的实验实际上是早于梅森的。我们看到这个经验公式已经包含了决定弦振动频率的三个主要因素：长度、密度和张力。

在给定弦长后，对弦添加张力，这个张力的大小很有讲究。弦绷得不能太紧，否则像小提琴和琵琶之类的乐器，用手指压弦到指板上或是压弦到品上，觉得有点勒手；太松也不行，这时弦的发音太低，音量也太小。一般小提琴每根弦的张力是7～9 kg，四根弦的总张力约为30 kg。至于钢琴的弦，一共有200多根，普通钢琴有88个键，并不是每一个键对应一根弦，一般是对应两根或者三根。这么多的弦，再加钢琴的弦有的很长，最长的有效弦长要超过2 m。单根弦的平均张力在150 kg以上。所以钢琴的弦的总张力高达15～20 t。像小提琴、琵琶、吉他之类的弦乐器用木料做的琴身一般就能够支持琴弦的张力，而像钢琴、竖琴那样由多根弦构成的弦乐器，起先也是用木头制作的，后来发现需要用钢铁来制作特殊的支架以保证支持弦的张力。

琴身和支持弦的张力的支架，虽然是足够坚硬的，但在绷上了弦之后，它仍然会有微小的变形。这个变形会给调音带来一点小麻烦。这就是，当你把一根弦的音调好后，也就是说这根弦的张力达到了标准，这时你再去调另外一根弦的张力，不管你是增加还是减少张力，都会影响支架或琴身的变形，以致使已经调好的那根弦张力不再合适，需要重新调。有经验的小提琴手，在调四根弦的音时，并不是一根调好后再调另外一根，而是把四根弦先大致调到松紧程度差不多，然后再细调。至于钢琴的调音，因为弦很多，调音要复杂得多，经常需要专业的调音师来调音。

现在来说弦的密度。早期的琴弦，是用生丝或羊肠制成，后来改用金属制造，既结实又容易大量生产。对小提琴来说，最细的E弦是用裸金属制作的，而A、D、G这三根比较粗的弦就不能用裸线了。原因是，在弦的张力松紧程度大致一样的情况下，弦的振动基频是与弦的密度的平方根成反比例的。也就是说，空弦低八度的弦直径应当加大一倍。另一方面，由材料力学知道，金属杆直径增加一倍，它的抗弯刚度就会是原来的八倍，因为抗弯刚度是与直径的三次方成比例的。所以，如果用裸弦，那么几根低音弦为了密度加大，结果会使弦的抗弯刚度增加得太多。这时，弦将不再体现为柔韧的弦，而变得更像一根梁了。

我们知道所有弦乐器的理论基础是达朗贝尔提出的弦振动理论。弦与梁的本质区别是弦不能承受弯矩，即弯曲刚度近似为零；而对于梁的振动，则要复杂得多。它的频率不仅和密度、张力、长度有关，而且还和端头的固定状态有关。所以，为了避免低音弦变为梁，就采用缠弦的办法。方法是在很细的裸金属线外面缠一层细金属丝，如图2所示。这层缠丝只会改变弦的密度，而对弦的弯曲刚度影响很小，使弦还是像细的裸弦一样的柔韧。各种弦乐器的低音弦都是采用缠弦的。

图2 缠弦

好了，我们已经有了一些合格的、有一定密度、张力合乎要求也很柔韧的弦了。如果再配上一个好的共鸣体(如小提琴的音箱、二胡的琴筒、吉他阮琵琶和古琴等弹拨乐器的琴身、钢琴的音板等等)，就是一件理想的乐器了。

无论东方还是西方，弦乐器最早都是拨弦乐器，用马尾和琴弦摩擦发声比较晚。不过要弄清楚在弓弦摩擦条件下弦的运动规律，却不是一件容易的事。这其中最早比较仔细地考察这个问题的人是德国物理学家、心理学家、哲学家亥姆霍兹(Hermann von Helmholtz，1821—1894)。他是能量守恒定律的发现者；他最早测定神经脉冲的传播速度，重新提出托马斯•杨的三原色视觉说，研究了音色、听觉和共鸣理论；他发明了验目镜、角膜计、立体望远镜；他对黎曼创立的非欧几何学也有研究；他在1862年出版《关于作为音乐理论生理基础的音调感觉》(英文译名为On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music)[1]。这本书是现代音乐心理学的奠基之作。书中他描述弓子在弦上拉动时，弦被拉的地方形成一个折角，这个折角以一定的速度向弦的一端运动，然后再返回。后人把亥姆霍兹所揭示的这种现象称为亥姆霍兹运动。

图3 亥姆霍兹像

在探索弓弦运动机理上迈出第一步的是印度科学家拉曼(Chandrasekhara Venkata Raman，1888—1970) ，就是那位发现光通过介质时由于入射光与分子运动相互作用而引起频率变化的散射，被后人称为拉曼散射，其结果称为拉曼效应的印度人，他因此而获得1930年诺贝尔物理学奖。他在1918年发表长篇论文《弓拉弦振动的力学理论》[2]，文中他给出一个简化模型：弦是柔不可伸长的，由两端的张力拉紧，弓子作用点距离琴马为弦长的若干分之一，摩擦系数假定是弓弦相互滑动速度的函数。他用手算给出了弦的一些周期运动，包括亥姆霍兹得到的运动。由于这种模型是非线性的，所以实际上这是关于用非线性理论研究乐器发声的最早的文献之一。

3 律管与管口矫正

一首乐曲中各音的音高是相对的，并没有给出一个标准音高。实际上在一个乐队里，有管乐器，也有弦乐器，要合奏，就要求相互之间发声是和谐的。弦乐器音高比较容易调，只要调一下弦的张力大小，或者说弦的松紧程度就可以了，而管乐器要改变音高就没有那样容易了。何况乐队中还有钟、锣这样更不容易变音的乐器。所以要规定一个标准音高。

图4 拉曼像

用弦乐器来确定各音的相对高度，可以很准确，这是弦乐器的优点。因为人们早就知道，在均匀的同一张力的弦上，音高，或者说后来人们所说的弦振动的频率，准确地说是和弦长成反比的。不过当年是用生丝制作弦的，这种弦最大的缺点是，对调好的音不容易保持，因为它受天气、湿度和温度的影响太大。今天定好的音，明天一下雨，天气潮湿了，音高就变了。于是，在制造音律标准时人们便想到了管乐器。制定标准音高的管子，称为律管。

这就是晋代杨泉在他的《物理论》中所说的“以弦定律，以管定音” 。就是说，确定各音之间音高的比例需要借助于弦，而要制定标准的音高，就要借助于管了。

在一个相当长的时期内，人们把律管的长度与音高的关系也像弦那样看待，即也像五度相生对于弦那样，当长度减小三分之一，音高升五度；律管长度减半，升高八度。后来发现无论如何都无法弄准。在东汉之前的大学问家都一直坚持这种错误的认识，直到东汉的京房才认识到“竹声不可以度调”。

实际上，律管就是两端开口的一根一定长度的直管子。律管开端的条件是十分复杂的，就是说在开口端外部也会有一部分空气和管中的空气一同振动，所以要计算管长与频率的关系是很困难的。即使现今有强有力的计算机作为计算工具，也会有相当的难度。因此，我国古代聪明的学者是用一个管口校正的办法来处理这个问题的，即把管外参与振动的空气折合一个管的长度对管长进行修正，这就是管口校正的真谛。

到了明代朱载堉，采用实验的办法得到一个结论：“是以黄钟折半之音不能复与黄钟相应，而下黄钟一律也，他律亦然。”(朱载堉：《律吕精义》)这意思是，把黄钟的律管折半，比高八度的黄钟要低半个音。这是一个很重要的发现。

要说明的一点是，管口校正问题一直是中国学者讨论的话题，而在西方的文献中没有相关的记载。直到英国著名的物理学家丁铎尔(John Tyndall，1820—1893)所著的《Sound》(《声学》，根据1869年第二版英文版翻译的中文版于1874年出版)，由当时在江南制造局编译馆任职的英国人傅兰雅与徐建寅(1845—1901)合译。这是第一本用中文系统地介绍西方声学的著作，它全面、系统而且文字生动，所以影响中国达数十年之久，至20世纪初为止还没有可取代的读物。

徐建寅的父亲徐寿(1818—1884)在翻译的过程中，经常与傅兰雅讨论书中涉及的问题。徐寿熟悉中国古代的音律学。在中国古代乐律中，在讨论管口校正之前，即东汉之前有一种说法，说弦乐器或管乐器的弦或管增长一倍或缩短一半，则所发的声会降低或升高八度；而《声学》在卷五中也说：“有底管、无底管生音之动数(即频率)，皆与管长有反比例。”这两种说法是一致的。可见直到《声学》出版之前西方还一直没有管口校正的概念。徐寿用铜管做实验，发现只在管长比为4∶9时，所吹出的音才相差八度。

徐寿的这个发现与中国古代和《声学》所述都不同，不过它与朱载堉的实验结论是相近的。傅兰雅把徐寿的实验结果写信告诉了《声学》的作者丁铎尔，同时将信的复件寄给了英国的《自然》杂志。《自然》杂志请人答复，说徐寿的结果是正确的。《自然》杂志还以《声学在中国》为题发表了傅兰雅来信，同时加了按语说：“我们看到，一个古老定律的现代的科学修正，已由中国人独立解决了，而且是用那么简单原始的器材证明的。”[3]

图5 徐寿像

1762年(乾隆二十七年)岭南医生何梦瑶(1693—1764)综合康熙皇帝所著《律吕正义》与曹廷栋所著《琴书》成书为《赓和录》上、下两卷，该书说到律管时，称：“盖径同，则无论长短，但取九分之四，则声相应，与弦之全半相应不同也。”这句话，就是徐寿文章的意思，说明徐寿的这个结果何梦瑶已经发现了。另外，由朱载堉实验所得到的律管，他所说的“黄钟折半之音不能复与黄钟相应，而下黄钟一律也”，根据文献[3]，从他所列的36根律管的尺寸，推算得到1尺长度律管正黄钟管与0.471 9尺的高八度的黄钟相和。这个比例是9∶4.247 1，是与何梦瑶和徐寿的结果相近的。话又说回来，律管是两头开口的管子，要从一头吹响，那么在吹响的这头，嘴唇遮挡多大，遮挡的大小又会影响管口补偿的长度。因此，一般说来，朱载堉和何梦瑶所得到的数据，在当时定义不够严格的条件下来说，应当认为是相同的，这种差别是必然会发生的。

当律管发声的长度和管口校正弄清楚了之后，对于一般管乐器的音准就不再是困难的问题了。

4 从认识乐器走向现代科学

1746年，法国科学家达朗贝尔在研究弦的振动的基础上发表了《张紧的弦振动时形成的曲线研究》一文，这是现代偏微分方程的经典文献。迄今大部分偏微分方程的教程都是由弦振动方程开篇的。

英国科学家瑞利在系统研究乐器发声理论的基础上，利用他在埃及休养时写成了巨著《声学理论》(Theory of Sound，完成于1877—1878年)，系统总结了他研究弹性振动的成果。这本书成为近代弹性体振动的经典著作。从研究弹性体振动和声波开始，他的兴趣扩张及水波、电磁波、光波各个方面，深入理解一切波动的本质性质。后来他发现了弹性介质的表面波；他又发现了入射光在线度小于光波长的微粒上散射后散射光和入射光波长相同的现象。为了解释“天空为什么呈现蓝色”这个长期令人不解的问题，他导出了分子散射公式。太阳光在穿过大气层时，各种波长的光都要受到空气的散射，其中波长较长的波散射较小，大部分传播到地面上，而波长较短的蓝、绿光受到空气的散射较强，天空中的蓝色正是这些散射光的颜色，因此天空会呈现蓝色。这个公式被称为瑞利散射定律。

被乐器和声音的现象吸引，由于好奇心驱使得到的收获，远远不能够用对于乐器本身的研究结果来显示。人们从最古老的七弦琴开始，对声音有所了解，发现声音是一种波，后来发现了水波、电磁波、光波。酷爱音乐的开普勒追求宇宙的谐和发现了行星运动的三定律。后来人们通过弦振动的研究得出一根有限的弦在拨动它时只能产生若干个振动频率，同样电子在绕原子核转动时也只能在若干个能级上运动。它们都是由一个二阶偏微分方程的特征值决定的，前者是弦振动方程，而后者是量子力学中的薛定谔方程。

你可曾想过，当你倾听一首优美的乐曲时，刺激你的耳鼓的，从时间上来说是由声音以一定的频率传过来的一粒粒的能量，而从演奏者到你耳朵之间在空间的传播过程，又展现为波动。这不就是一种波粒二象性吗？啊！原来在音乐中就包含着量子力学中的二象性原理的寓意。

沿着这个思想发展下去，到最近半个世纪，一种以“纳须弥于芥子”气势的“超弦理论”在理论物理中悄然兴起。它的意图是要解释宇宙中的一切，以实现爱因斯坦生前未竟的宏愿——统一场论。超弦，无非是高维空间中的一根琴弦，它的固有振动的状态，就体现了物质的各种基本粒子的形态：能量、质量以及带电量。这种本质上还是由于对弦乐器认识的延伸和更为抽象的想象[5]。可见，从认识乐器出发，你能够触摸到近代科学的最前缘！

(2015年6月26日收稿)

[1]VON HELMHOLTZ H. Die Lehre von den Tonempfindungen. Braunschweig, 1862. English edition: On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music [M]. New York: Dover, 1954.

[2]RAMAN C V. On the mechanical theory of the vibrations of bowed strings and of musical instruments of the violin family, with experimental verification of results—Part 1 [J]. Bulletin, Indian Association for the Cultivation of Science, 1918, 15: 1-158.

[3]戴念祖. 中国科学技术史: 物理学卷[M]. 北京: 科学出版社, 2001.

[4]武际可. 音乐中的科学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2012.

[5]B•格林. 宇宙的琴弦[M]. 李泳, 译. 长沙: 湖南科学技术出版社, 1999.

(编辑：沈美芳)

Consider musical instruments from mechanics

WU Jike
Department of Mechanics and Engineering Science, Peking University, Beijing 100871, China

The close relation between music and mechanics is considered from history development. Music scale and vibration frequency, the law of music instruments are mentioned. Finally, we talk about that the music instruments are improved by mechanics research, but also music research promotes the progress of science.

music, mechanics, sound, pipe instrument, stringed instrument

10.3969/j.issn.0253-9608.2015.05.006

†通信作者，E-mail：wu_jike@sina.com