严格对角占优M-矩阵最小特征值下界改进的估计式

蒋建新，李艳艳

(文山学院数学学院, 云南 文山 663000)

严格对角占优M-矩阵最小特征值下界改进的估计式

蒋建新，李艳艳

(文山学院数学学院, 云南 文山 663000)

研究了严格对角占优M-矩阵A的最小特征值τ(A)下界的估计问题，利用A的逆矩阵A-1主对角元素的新估计式，给出了τ(A)提高的新估计式, 理论证明表明，新的估计式改进了李朝迁2013年给出的结果，而数值算例对结果进行了进一步的验证.

严格对角占优矩阵；M-矩阵；最小特征值；估计式

1 预备知识

下面给出一些特殊矩阵的定义与记号

非奇异M-矩阵A=(aij)∈Rn×n分裂为A=D-C(D=diag(a11,a22,…,ann))，称JA=D-1C为A的迭代矩阵.

引理1[1]设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵，则

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 严格对角占优M-矩阵最小特征值的下界

这部分首先给出严格对角占优M-矩阵的逆矩阵主对角元素新的上下界，其次利用这些界给出严格对角占优M-矩阵最小特征值的一些新的下界，最后证明了新的界提高了李朝迁在文献[3]中给出的相应结果.

(6)

(7)

证明：因为A是M-矩阵所以A-1≥0，且A·A-1=I，

同理利用(5)式可得(7)式成立.

同样的方法可得下面定理2.

(8)

(9)

定理3 设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优的M-矩阵,则

(10)

又因为JA=D-1C,C=D-A是非负矩阵，则由引理 3知

将上述结果代入引理2有

定理4 设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

(11)

下面证明定理3、定理4提高了李朝迁在文献[1]中给出的相应结果.

定理5 设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

(12)

定理6设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

(13)

注：定理5、定理6提高了参考文献[1]中的结果

定理7设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

(14)

又因为JA=D-1C,C=D-A是非负矩阵，则由引理3知

将上述结果代入引理2知

定理8设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

(15)

推论1设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵，可得下面的估计式

(16)

(17)

数值算例：

设

容易验证A是非奇异的M-矩阵，应用参考文献[3]定理4.1(本文引理1)知

τ(A)≥0.00688007

应用本文(10)式，(11)式，(14)式—(16)式分别得τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007.

[1] 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M]. 北京：清华大学出版社，2000.

[2]TianG,HuangT.InequalitiesfortheminimumeigenvalueofM-matrices[J].Electronic Journal of Linear Algebra, 2010,(20):291-302.

[3] Li C， Li Y， Zhao R. New inequalities for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J].LinearandMultilinearAlgebra,2013, (9):1267-1279.

(责任编校：晴川)

Improved Estimations of Lower Bound Minimum Eigenvalue of Strictly Diagonally DominantM-matrix

JIANG Jianxin，LI Yanyan

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663000, China)

The paper studied the problem of estimating of lower bound minimum eigenvalueτ(A)forstrictlydiagonallydominantM-matrix,andobtainedsomenewestimationsofτ(A)byusingnewestimationsofnondiagonallyelementsofstrictlydiagonallydominantM-matrix.TheoreticalproofshowedthatnewestimatesimprovedresultsgivenbyLIChaoqianin2013,andnumericalexampleswerepresentedtofurtherverifytheresults.

strictly diagonally dominant matrix;M-matrix;minimumeigenvalue;estimation

2015-05-11

国家自然科学基金(批准号:11361074)资助项目;云南省教育厅科学研究基金(批准号:2013Y585)资助项目;文山学院重点学科数学建设项目(批准号:12WSXK01).

蒋建新(1981— )，男，甘肃天水人，文山学院数学学院讲师，硕士.研究方向:矩阵理论及其应用.

O

A

1008-4681(2015)05-0001-03