静水压力下具有轴对称初始缺陷圆柱壳承载能力研究

白旭，乐智斌，李金华，王晓天

（1江苏科技大学船舶与海洋工程学院，江苏镇江212003；2山东省科学院海洋仪器仪表研究所，山东青岛266001；3哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨150001）

静水压力下具有轴对称初始缺陷圆柱壳承载能力研究

白旭1，乐智斌1，李金华2，王晓天3

（1江苏科技大学船舶与海洋工程学院，江苏镇江212003；2山东省科学院海洋仪器仪表研究所，山东青岛266001；3哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨150001）

文章针对含有轴对称初始缺陷和局部轴对称凹陷的圆柱壳在静水压力下的稳定承载能力问题进行了研究。通过一种数值计算方法，给出了初始缺陷幅值、壳体半径与厚度比、壳体长度、局部凹陷长度及位置对静水压力下圆柱壳屈曲临界压力的影响。并针对不同缺陷幅值对圆柱壳的刚度进行折减，给出了初始缺陷幅值与刚度折减系数的关系。研究结果表明，对于轴对称初始缺陷对圆柱壳稳定承载能力的影响，本质上是降低圆柱壳轴向弯曲刚度和轴向的薄膜刚度从而造成圆柱壳稳定承载能力的下降，因此针对轴对称初始缺陷可以增加纵筋提高其弯曲刚度，增加稳定承载能力。

初始缺陷；刚度折减；圆柱壳；静水压力

Key words:initial imperfections;reduced stiffness;cylindrical shells;hydrostatic pressure

0 引言

除了较小的任意分布的初始缺陷之外，真实的圆柱壳体在加工建造以及运输过程中可能会产生显著的初始缺陷，这些初始缺陷可能是局部的，其幅值大小可能是壳体厚度的几倍，这都将对薄壁壳体结构的稳定承载能力造成不利的影响，有时可能是致命的。因此有必要研究初始缺陷对圆柱壳稳定承载能力的影响。

Gavrilenko等（2002）[1]应用数值计算的方法研究了具有局部凹陷的圆柱壳在轴向载荷作用下的稳定承载能力问题，评估了临近载荷及其下限对初始缺陷的敏感度。吴洪飞等（2003）[2]应用非线性弹塑性稳定性理论研究了圆柱壳在轴向力和内压联合作用下的弹塑性稳定问题，得到了不同比例加载路径、初始缺陷以及塑性变形发展程度对弹塑性失稳的影响规律曲线。王自力等（2007）[3]借助有限元软件针对弹性屈曲模态缺陷、局部缺陷、整体圆度偏差和壳板厚度偏差等缺陷研究不同深度载人潜水器耐压球壳极限承载力问题。通过对不同深度潜水器的有限元分析，得出了不同深度耐压壳体受初始缺陷影响的曲线。Fakhim等（2009）[4]通过试验研究了厚度变化和几何缺陷对薄壁圆柱壳在静水压力作用下屈曲和后屈曲行为的影响。研究结果表明，厚度的变化影响了最后波形的位移，最后的波形发生在壳体较薄的部分。王林等（2009）[5]针对含初始缺陷的耐压圆柱壳结构采用有限元方法进行了分析，认为初始缺陷幅值不会改变结构的失稳模态，且对极限承载力影响有限。龚友根等（2010）[6]对含有初始轴对称凹陷的圆柱壳在轴向载荷作用下的稳定承载能力进行了试验研究和数值计算，给出了含有初始轴对称凹陷圆柱壳的承载能力随凹陷幅值、长度及圆柱壳长度的变化而改变的规律。Gavrilenko和Matsner（2010）[7]针对含有局部缺陷的加筋壳体结构进行了研究，给出了一种有效的数值方法。Hutchinson（2010）[8]分析了圆柱壳以及球壳结构轴对称缺陷对其承载能力的影响，认为横向薄膜组件是影响结构失效的关键因素。

Croll（2006）[9]提出了刚度的思想，并被有效地应用在壳体结构的屈曲分析中[10-14]。本文采用刚度折减的思想，推导了含有轴对称初始缺陷圆柱壳的屈曲临界载荷，应用数值计算来研究轴对称初始缺陷和凹陷形式以及它们的参数变化时对静水压力下圆柱壳稳定承载能力的影响，给出了初始缺陷幅值与刚度折减的关系。

1 轴对称初始缺陷光滑圆柱壳承载能力研究

1.1 数值计算过程

图1 静水压力下具有轴对称初始缺陷的圆柱壳模型Fig.1 Cylindrical shell model with axisymmetric initial imperfections under hydrostatic pressure

考虑沿圆柱壳长度方向具有一个轴对称的初始缺陷，曲率为ρ，静水压力为p，厚度为t，半径为r，初始缺陷幅值为w0，如图1所示。w0相对于半径r是小量，因此忽略其对圆柱壳应力分布的影响，屈曲前的圆柱壳仍处于薄膜应力状。其应力和应变为：

由于初始缺陷的存在，其应变与位移的关系必须考虑缺陷的影响

相应的应力和弯矩为

其中：（-）′为线性应变与位移关系，（-）″应变与位移关系是平方非线性的。

相应地将圆柱壳的总势能也分成线性项和平方非线性项

其中：V0是屈曲前薄膜状态时的势能应该为0，V1是线性应变位移关系的势能，对于薄膜状态应该为0。V2中包含着平方非线性项，这些项对稳定平衡状态起主要作用。（U，V，W）为薄膜状态时的位移，而（u，v，w）是任意的位移增量。对于两端简支的圆柱壳，满足边界条件的位移可取为

现令

由应力与应变关系，得

由（1）式和（2）式，得

将（3）式和（9）式代入（8）式，得

将（6）式代入上式，得

将（12）式代入（11）式得

将（13）式代入（5c）式，可得薄膜应变能和弯曲应变能之和为

将（6）式代入（14-a）式后再代入（14）式，得

由壳体稳定的条件

可将求解壳体屈曲临界载荷问题转化为求解广义特征值问题

其中：Aij=Aij′+ΛAij″有如下形式：

其中：λ=jπ/L，L=l/r，Λ=pr/Et，R=r/t，α=12R2。

令（17）式中系数行列式为0，即可求得静水压力下圆柱壳的屈曲临界载荷。

1.2 计算结果分析

图2和图3给出了初始缺陷幅值与临界屈曲载荷和应用ANSYS软件计算所得到的初始缺陷对临界屈曲载荷的影响（L=2.88，r=250，t=5）。从图中可以看出，静水压力下圆柱壳的屈曲临界载荷随着初始缺陷幅值的增加而减小，当轴对称初始缺陷增加到一定程度后，圆柱壳的屈曲临界载荷随着初始缺陷的增加而增加。可以预测当初始缺陷继续增加到一定值时，临界载荷会随着初始缺陷的增加而下降，出现这种波动式的增加和减少。另外从图中还可以看出，这种轴对称初始缺陷对圆柱壳的承载能力影响较小，在最低时也可达到无缺陷屈曲临界载荷的91.5%以上，而ANSYS计算的结果为99.3%，几乎没有影响。这说明圆柱壳在全长范围内具有轴对称的初始缺陷并没有改变圆柱壳横截面的圆形，因此对圆柱壳的刚度来说，只是影响了圆柱壳的轴向弯曲刚度和轴向薄膜刚度。

图2 初始缺陷幅值对临界屈曲载荷的影响Fig.2 The influence of initial defect amplitude to critical buckling load

图3 ANSYS计算的初始缺陷幅值对临界屈曲载荷的影响Fig.3 The influence of initial defect amplitude to critical buckling load through ANSYS code analysis

为了说明这种轴对称初始缺陷只是影响轴向弯曲刚度和轴向薄膜刚度，而前面已经证明了轴向薄膜刚度对圆柱壳屈曲临界载荷的影响可以忽略不计，因此这里只对轴向的弯曲刚度进行折减，乘以折减系数ξ后的矩阵（18）的系数只改变以下几项：

图4给出了静水压力下圆柱壳轴向弯曲刚度折减系数与屈曲临界载荷的关系，从图中可以看出，圆柱壳屈曲临界载荷随着折减系数的降低而下降，当折减系数为0时，屈曲临界载荷达到最低值，此时载荷折减系数为0.91，这与图2中分析的载荷折减系数0.915是比较吻合的。比较图2和图4可以说明这种不改变圆柱壳横截面形状的轴对称初始缺陷只影响圆柱壳的轴向弯曲刚度而不会影响圆柱壳的薄膜刚度。图5给出了轴对称轴线缺陷幅值与轴向弯曲折减系数的关系。

图4 轴向弯曲折减系数对临界载荷的影响Fig.4 The influence of axial bending reduced coefficient to critical load

图5 初始缺陷与轴向弯曲折减系数的关系Fig.5 Relationship between initial defect and axial bending reduced coefficient

图6给出了具有相同初始缺陷，不同半径和厚度比时屈曲临界载荷折减系数的变化规律（t=5 mm，L=2.88）。从图中可以看出，当初始缺陷一定时，临界载荷随着半径与厚度比的增加而波动式地上升和下降，通过计算发现，圆柱壳失稳时的周向波数随着r/t的增加而缓慢地增加，造成了屈曲临界失稳压力出现波动式的上升和下降。表1给出了图6计算范围内周向失稳模态图。从周向失稳模态图中可以看见，周向波数由5个增加到了8个。图7具有相同初始缺陷，不同长度与半径的比对静水压力下圆柱壳屈曲载荷的影响（t=5 mm，R=100），从图中可以看出，随着L的增加，临界失稳压力也波动式地增加。而且初始缺陷对L的影响要比对r/t的影响更为敏感。

图6 初始缺陷对r/t的影响Fig.6 The influence of critical defect to r/t

图7 初始缺陷对L的影响Fig.7 The influence of critical defect to L

表1 周向失稳模态随r/t的变化Tab.1 The influence of r/t to circumferential instability mode

2 局部轴对称凹陷圆柱壳稳定承载能力研究

具有局部轴对称初始缺陷的圆柱壳如图8所示，静水压力为p，圆柱壳长度为l，初始缺陷左边与左边边界距离为l1，右边与左边界距离为l2，半径为r，初始缺陷曲率为ρ。

图8 具有局部轴对称初始缺陷圆柱壳示意图Fig.8 Cylindrical model with local axisymmetric initial imperfections

应用1.1节的分析过程，只在局部凹陷位移应用应变位移关系（3），其他部分应用不考虑缺陷影响的应变位移关系。可以得到行列式（17）的系数为

其中

应用系数（20）令行列式（17）的系数为0，则可得到局部凹陷圆柱壳在静水压力下的屈曲临界压力。

图9给出了初始缺陷的长度一定时，幅度变化对临界屈曲载荷的影响（l1=180 mm，l2=540，r=250，L=2.88，t=5 mm）。从图9中可以看出，对于局部轴对称初始缺陷的圆柱壳，与图2较为类似，临界屈曲压力都是随着初始缺陷的幅值的增加先下降到达一定幅值后开始增加，但是对于局部轴对称缺陷形式，趋势开始发生变化的初始缺陷幅值要比轴对称缺陷的形式小。对于局部轴对称初始缺陷，初始缺陷幅值对其屈曲压力的影响更为明显，图9曲线的斜率明显大于图2曲线的斜率，而且其最低值也比图2大约20%。

图10给出了初始缺陷位于圆柱壳中间，初始缺陷幅值与厚度比为0.2时，初始缺陷的长度对圆柱壳临界屈曲压力的影响。从图中可以看出，当初始缺陷的长度与圆柱壳长度之比小于0.15时，可以忽略初始缺陷对圆柱壳屈曲临界压力的影响，这是主要考虑由于初始缺陷造成的应力集中对圆柱壳局部屈服强度的影响。但当初始缺陷长度为圆柱壳长度的0.15-0.3之间时，圆柱壳屈曲临界压力随着初始缺陷的增加而迅速地下降到最低值，随后随着初始缺陷长度的增加临界屈曲压力开始缓慢地增加，这与文献[3]中具有轴对称初始缺陷圆柱壳的轴压实验的结果是一致的。

图9 局部轴对称初始缺陷幅值对临界失稳载荷的影响Fig.9 The influence of local initial defect amplitude to critical buckling load

图10 局部初始缺陷长度对临界载荷的影响Fig.10 The influence of local initial defect length to critical buckling load

图11 初始缺陷位置对临界屈曲压力的影响Fig.11 The influence of local initial defect location to critical buckling load

图12 w0/t一定时临界屈曲压力随r/t变化曲线Fig.12 The curve of critical buckling load to r/t with the same w0/t

图11给出了初始缺陷长度为全长的0.3，初始缺陷幅值与厚度比为0.2时，初始缺陷的位置对临界屈曲压力的影响。从图中可以看出，初始缺陷位置对临界压力的影响关于壳体中间是对称的，其中最危险的位置为壳体中间，要比初始缺陷位置在两边时临界屈曲压力减小10%左右。

图12给出了w0/t分别为0.1、0.2和0.5，初始缺陷位于壳体中间，其长度为柱壳长度一半时，局部轴对称缺陷圆柱壳在静水压力下屈曲临界载荷随半径与厚度比的变化曲线，从图中可以看出，当r/t很小时，临界屈曲压力对局部初始缺陷比较敏感，而当r/t较大时，临界屈曲压力开始呈现波动的上升和下降。通过计算发现，随着r/t的增加，屈曲模态发生变化，周向波数由4个上升到8个，与表1具有相同的失稳模态，因此造成了在r/t很大时，屈曲压力呈现波动的特性。对于不同的半径与厚度比，当初始缺陷幅值很小时对柱壳的屈曲临界压力几乎没有影响，而且随着r/t的增加，圆柱壳的屈曲临界载荷折减系数变化的幅度越来越小，说明较大的r/t对局部初始缺陷不敏感。

3 结论

通过对轴对称缺陷圆柱壳以及局部凹陷圆柱壳稳定承载能力的研究，主要得到以下结论：

（1）圆柱壳对轴对称初始缺陷不太敏感，当w0/t=2.5时，临界失稳压力即下降为原来的91.5%。临界失稳压力随着初始缺陷幅值的增加先下降达到一定值后开始增加。

（2）轴对称初始缺陷对圆柱壳临界失稳压力的影响其本质是主要影响了圆柱壳的轴向弯曲刚度，通过轴向弯曲刚度的折减可得到任意缺陷幅值对圆柱壳稳定承载能力的影响。

（3）静水压力下，圆柱壳的屈曲临界压力对局部初始凹陷更为敏感，受局部轴对称初始凹陷的幅值，位置和长度的影响很大。屈曲临界压力随局部初始缺陷的幅值的增加要比轴对称初始缺陷下降得迅速且影响更大。当初始缺陷处在圆柱壳中间部分时对圆柱壳屈曲临界压力的影响最大，可使其降低15%左右。

（4）初始缺陷长度超过圆柱壳长度的30%时，圆柱壳的屈曲临界压力随着初始缺陷长度的增加而增加，当初始缺陷长度不足圆柱壳长度的15%时，对临界屈曲压力影响较小，可以忽略，当处在15%到30%中间时，圆柱壳的屈曲临界载荷随着初始缺陷长度的增加而迅速地下降，其下降为15%左右。

[1]Gavrilenko G D,Matsner V I.The stability and load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric dents[J]. International Applied Mechanics,2002,38(7):861-871.

[2]吴洪飞,苑世剑,王仲仁.初始缺陷和比例加载路径对圆柱壳弹塑性稳定性的影响[J].机械工程学报,2003,39(2): 53-56. Wu Hongfei,Yuan Shijian,Wang Zhongren.Effects of initial imperfection and proportional load path on elastoplastic stability of cylindrical shell[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2003,39(2):53-56.

[3]王自力,王仁华,俞铭华,李良碧.初始缺陷对不同深度载人潜水器耐压球壳极限承载力的影响[J].中国造船,2007, 48(2):45-50. Wang Zili,Wang Renhua,Yu Minghua,Li Liangbi.The influence of the initial imperfections on the ultimate strength of manned deep-sea submersible pressure sphere hull[J].Shipbuilding of China,2007,48(2):45-50.

[4]Fakhim Y G,Showkati H,Abedi K.Experimental study on the buckling and post-buckling behavior of thin-walled cylindrical shells with varying thickness under hydrostatic pressure[C]//Proceedings of the International Association for Shell and Spatial Structures(IASS)Symposium,28 September-2 October,2009.Valencia,Spain,2009.

[5]王林,李峰,田冀锋.初始缺陷对耐压圆柱壳结构极限承载力的影响[J].江苏科技大学学报(自然科学版),2009, 23(1):1-4.Wang Lin,Li Feng,Tian Jifeng.Effects of initial defects to the limit load of pressure cylinder shell[J].Journal of Jiangsu University of Science and Technology(Natural Science Edition),2009,23(1):1-4.

[6]龚友根,贺玲凤.含有初始凹陷圆柱壳稳定承载能力的实验研究与数值计算[J].实验力学,2010,25(1):73-80. Gong Yougen,He Lingfeng.Experimental study and numerical calculation of stability and load-carrying capacity of cylindrical shell with initial dent[J].Journal of Experimental Mechanics,2010,25(1):73-80.

[7]Gavrilenko G D,Matsner V I.Effect of localized imperfections on the critical loads of ribbed shells[J].International Applied Mechanics,2010,46(7):771-775.

[8]Hutchinson J W.Knockdown factors for buckling of cylindrical and spherical shells subject to reduced biaxial membrane stress[J].International Journal of Solids and Structures,2010,47(10):1443-1448.

[9]Sosa E M,Godoy L A,Croll J G A.Computation of lower-bound elastic buckling loads using general-purpose finite element codes[J].Computers and Structures,2006,84:1934-1945.

[10]Jaca R C,Godoy L A,Flores F G,et al.A reduced stiffness approach for the buckling of open cylindrical tanks under wind loads[J].Thin-Walled Structures,2007,45:727-736.

[11]Wang Hongtao,Croll J G A.Optimization of shell buckling using lower bound capacities[J].Thin-Walled Structures, 2008,46:1011-1020.

[12]白旭,李金华,王晓天.肋骨刚度对环肋圆柱壳屈曲载荷的影响分析[J].江苏科技大学学报(自然科学版),2014,28 (4):307-312. Bai Xu,Li Jinhua,Wang Xiaotian.Effect of rib stiffness on buckling load of stiffened cylindrical shells[J].Journal of Jiangsu University of Science and Technology(Natural Science Edition),2014,28(4):307-312.

[13]Tabatabaei S A R,Mirghaderi S R,Hosseini A.Experimental and numerical developing of reduced length buckling-restrained braces[J].Engineering Structures,2014(77):143-160.

[14]Kucukler M,Gardner L,Macorini L.Lateral-torsional buckling assessment of steel beams through a stiffness reduction method[J].Journal of Constructional Steel Research,2015(109):87-100.

Load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric initial imperfections under hydrostatic pressure

BAI Xu1,YUE Zhi-bin1,LI Jin-hua2,WANG Xiao-tian3
(1.School of Naval Architecture and Ocean Engineering,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 212003, China;2.Institute of Oceanographic Instrument Shandong Academy of Sciences,Qingdao 266001,China;3.College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

This paper studies the stability load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric initial imperfections and local dents.The effects of amplitude,the ratio of radius and thickness,the length of shells and local dents and the position of dents on the critical buckling pressure of cylindrical shells under hydrostatic pressure are given out with numerical calculation method.And to reduce the stiffness of cylindrical shells to different amplitudes of the imperfections is made and the relation between the amplitudes and coefficient of reduced stiffness is obtained.The results indicate that the essence of the effects of axisymmetric initial imperfections on the load-carrying of cylindrical shells is that the imperfections induce the axial bending stiffness reduced and decrease the stability load-carrying of cylindrical shells.Therefore,the stringer stiffener can increase the bending stiffness and improve the load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric initial imperfections.

U661.43

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.006

1007-7294（2015）11-1334-10

2015-07-17

国家自然科学基金青年基金资助项目（51409128、51409129、51309125）；江苏省高校自然科学研究项目资助（14KJB570001）；江苏省自然科学基金青年基金资助项目（BK20140504）

白旭（1984-），男，博士，E-mail：baxu_heu@126.com；乐智斌（1995-），男，硕士研究生；

李金华（1988-），男，硕士研究生；王晓天（1956-），男，博士，教授。