城市轨道交通换乘站的列车衔接时间优化

梁强升 李 璇 徐瑞华

（1.广州市地下铁道总公司，510380，广州；2.宁波大学海运学院，315211，宁波；3.同济大学交通运输工程学院，201804，上海∥第一作者，高级工程师）

随着城市轨道交通网络规模的扩大，网络换乘节点数量大幅增加，面对网络化运营条件下的大量换乘需求，需要在网络层面协调各线路的列车运行计划，实现不同线路方向的列车在换乘站的良好衔接，从而缩短乘客的换乘等待时间，提高换乘服务水平。换乘等待时间与换乘前后的列车在换乘站的到发时刻直接相关，如何安排列车对在换乘站的到达时间间隔（以下称“列车衔接时间”）是网络列车运行计划协调优化的关键。

换乘站的列车衔接时间受到乘客走行与列车运行两个动态过程的影响。乘客换乘走行时间具有随机性的特点，其大小与换乘环境、乘客个体属性等相关，可通过对客流调查的结果进行统计确定。由于受到乘客乘降、设备故障及突发事件等因素的影响，列车运行可能会发生随机延误，因此列车到站时刻也具有随机性的特点。合理的列车衔接时间应在满足乘客换乘走行时间的基础上加入缓冲时间，以弥补列车运行延误的不良影响。本文基于乘客换乘走行及舒适等待的需求，考虑列车运行延误的影响，建立了列车衔接时间的计算模型，为网络列车运行计划的协调优化提供指导。

1 换乘站列车衔接时间的组成

设列车Train1属于线路Line1的下行方向，列车Train2属于线路Line2的下行方向，Line1与Line2相交于换乘站a。对于列车对Train1和Train2，设计划中欲促成的衔接关系是在a站实现Train1→Train2，那么，在a站自Train1下车换乘Line2下行方向的乘客可以换乘到Train2。此时Train1为输送列车，Trian2为接续列车。下面分析如何安排列车衔接时间，使这部分换乘乘客的换乘等待时间得到优化。

图1 列车对衔接图示

图2 列车衔接时间图示

当 tC，1下→2下，a满 足 tW，1下→2下，a＜tC，1下→2下，a ＋tD，2，a＜tW，1下→2下，a＋h2时，由该计划所确定的输送列车Train1与接续列车Train2构成计划层面的衔接关系。如图1所示，实际运营中，在输送列车不发生运行延误的条件下，D2，a－A1，a＞tW，1下→2下，a，换乘乘客可换乘到计划中安排的接续列车，则该协调列车对衔接成功；反之，若输送列车发生延误，D2，a－A1，a′＜tW，1下→2下，a，换乘乘客无法换乘至计划中安排的接续列车，需等待后行列车，则该协调列车对衔接失败。列车对衔接失败，将会增加乘客的换乘等待时间，延长乘客的出行时间，降低服务水平。因此，在确定换乘站的列车衔接时间时，考虑列车运行延误对衔接成功率的影响是十分必要的。

将换乘站的列车衔接时间分为换乘走行时间和衔接缓 冲 时 间 两 部 分（见 图 2），即 tC，1下→2下，a＝tW，1下→2下，a＋tB，1下→2下，a。其中tB，1下→2下，a为衔接缓冲时间。若衔接缓冲时间等于零，衔接时间恰好满足乘客换乘走行的需要，换乘等待时间为零，称为“零换乘”。在实际中，“零换乘”并非理想的换乘状态［1－2］，当换乘等待时间少于30 s时，乘客对换乘的不满意度很高。其主要原因是衔接时间过紧会给乘客带来错过列车的心理危机感，这在列车发车频率较低时表现尤为明显。所以，衔接缓冲时间应该包括一个满足乘客心理舒适度的等待时间。由此，可将衔接缓冲时间定义为乘客等待舒适时间tR与延误松弛时间tS的和，即tB＝tR＋tS。则列车衔接时间tC＝tW＋tR＋tS。对于换乘乘客而言，当输送列车与接续列车间的列车衔接时间恰好为tW＋tR时，换乘满意度最高。

由于不同的乘客有不同的走行习惯和不同的等待心理特点，因此，乘客的换乘走行时间和等待舒适时间都是与乘客个体属性相关的随机变量，在制订列车运行计划时，前者的取值可通过实际调查来确定，后者可通过意向调查结果来确定。本文将这两个变量都看作已知参数，重点确定最佳的延误松弛时间。

2 运行延误条件下列车衔接关系分析

针对一个换乘关系为“在换乘站a的Line1下行→Line2下行”的协调列车对Train1和Train2，确定最佳的列车衔接时间将涉及Train1和Train2的列车运行延误时间X1和X2。图3表现了X1和X2处于不同关系下Train1和Train2的衔接状态。图中，b为Line1下行方向上换乘站a的前一站，c为Line2下行方向上换乘站a的前一站，斜实线表示计划列车运行线，斜虚线表示实际列车运行线，表示换乘等待时间，表示令乘客焦虑的等待时间。在4种情况中，延误松弛时间对乘客的换乘起到了不同的作用。为方便分析，仅将Train1和Train2的相对延误表示出来，且tW＝tW，1下→2下，a，tR＝tR，1下→2下，a，tS＝tS，1下→2下，a。

图3 输送列车和接续列车在不同延误关系下的衔接图示

情况a）：当X1－X2≤0时，列车延误对列车对的衔接成功率没有影响，换乘乘客的等待时间为tR＋tS＋（X2－X1），此时，延误松弛时间给乘客增加了额外的等待时间tS，如图3a）中所示；

情况b）：当0＜X1－X2≤tS时，换乘等待时间为tR＋tS－（X1－X2），此时，延误松弛时间起到了保护换乘衔接关系的作用，但仍增加了乘客的额外等待时间tS－（X1－X2），如图3b）中所示；

情况c）：当tS＜X1－X2≤tS＋tR时，换乘等待时间为tR＋tS－（X1－X2），此时延误松弛时间也起到了保护换乘衔接关系的作用，由于输送列车的到达延误较大，乘客的等待舒适时间被占用；

对公司成立初期的财务进行了一定的分析及相关数据的预测，从表格中，可以明显地看出，公司成立一年后会实现一定的盈利，完成了公司发展战略的第一步。

情况d）：当tS＋tR＜X1－X2≤tS＋tR＋h2时，输送列车上的乘客无法换乘至预期的接续列车，只能换乘后续列车，其换乘等待时间为tR＋tS＋h2－（X1－X2），说明延误松弛时间只能抵御较小的列车延误，此在文献［3－5］中也有体现。

综上，在列车运行延误时间较小的条件下，延误松弛时间能够在一定程度上提高既定列车对衔接关系的兑现率，降低乘客错过衔接列车的概率，但其也可能增加乘客的额外等待时间。延误松弛时间对协调列车对的衔接关系的影响与列车延误时间密切相关。

3 基于随机延误的换乘站列车衔接时间优化模型

在换乘走行时间和乘客等待舒适时间已知的前提下，考虑列车延误的影响，建立换乘站列车衔接时间的优化模型，确定最佳的延误松弛时间，以得到最佳的列车衔接时间，为制订网络列车运行计划提供依据。

3.1 列车衔接时间的优化模型

输送列车和接续列车的运行延误时间X1和X2可看作相互独立的服从指数分布的随机变量［3－4］，其密度函数f（x）和分布函数F（X）分别为：

1／λ即为延误的期望值。基于分布函数和密度函数，可得到X1和X2处于不同关系的概率，即两者的联合密度函数在不同区域的积分。

由于延误松弛时间只能抵御较小的运行延误时间，在此考虑延误最多让乘客错过一趟列车。即乘客错过计划中安排的接续列车后必能够搭乘其后的第一班列车离开。则X1和X2需满足X1－X2≤h2＋tS＋tR。为使积分区域有效且闭合，考虑（X1，X2）∈S（S＝｛0≤X1≤h2＋tS＋tR，0≤X2≤h2＋tS＋tR｝）的正方形区域，如图4所示。图中的S1、S2、S3区域分别对应图3a）、b）、c）三种情况，S4和S5区域对应图3d）。图3d）划分成两个区域是为了建模需要，这两个区域的等待时间值落在惩罚值函数分界点的两侧，对应的函数表达式不同。

根据图3和图4，换乘等待时间可表达为如下函数：

图4 输送列车和接续列车的运行延误关系图

设换乘等待时间对应的费用函数为C（t），如前所述，tR所对应的费用应最小，换乘等待时间大于或小于该时间对应的费用都将提高。其中，等待时间越趋近于0，乘客危机感越高，费用越大；等待时间越趋近于h2－tD，2，a，乘客焦虑感越高，费用也越大。故C（t）可采用式（4）的函数形式，函数图像见图5。

图5 换乘等待时间对应的费用函数图像

参数C1和C2的取值可以参考乘客出行时间价值来确定。等待时间为0表示乘客到达接续线路站台时，接续列车已经进站开始上客，这种情况将给乘客带来一定的心理危机感，等效于产生了一定的时间费用。由于乘客登上接续列车后需等待列车出发，这里考虑使用乘客在车上等待的单位时间价值来确定参数C1。参数C2描述乘客恰好错过预期的接续列车时的等待时间费用。

根据文献［3］，公共交通出行时间中的等待时间价值通常是相对于乘车时间价值来确定的。乘客的乘车单位时间价值取1，它表示乘客在运行的列车上的单位时间价值；相对地，乘客在站台上等待列车的单位时间价值取2.5，它表示乘客乘车2.5min的时间费用相当于其在车外等待1min的时间费用。若乘客到达接续线路方向的站台时预期换乘的接续列车恰好离站，其等待时间接近于h2－tD，2，a，这种等待的心理焦虑感更高，其时间价值也更大，参考文献［3］可定为2.7。与乘客在站台上等候相比，乘客在车内等待列车开行的舒适性较好，故乘客在车内的单位等待时间价值取2。由此，取C1＝2tD，2，a且C2＝2.7（h2－tD，2，a）。

乘客步行到达接续线路方向的站台时，接续列车恰好将要进站是较为理想的换乘状态。列车从进站到停车需要经过一段时间，此作业时间一般为40s，因此tR的建议取值为tR＝0.67min。

以延误松弛时间tS为决策变量，以换乘等待时间费用值最小为目标函数，建立模型：

图4中的S3和S5区域对应的换乘等待时间小于tR，应采用惩罚值函数的前一段，而S1、S2和S4区域对应的等待时间大于tR，应采用惩罚值函数的后一段。约束条件是保证列车对的衔接对应关系。

针对一个特定的换乘关系，在C（t）、tW、tR、h2、λ1、λ2、tD，2，a已知的条件下，求解延误松弛时间的最优值，属于一元函数的最优化问题。目标函数的积分公式非常复杂，可以运用Mathematica软件来求解［6－7］。

3.2 算例

3.2.1 基本算例

模型参数取值如表1所示。基于此参数设置，运用Mathematica软件进行目标函数的积分求解，然后求目标函数的导函数和极值点，并绘制函数图像（见图6），得到最佳的延误松弛时间→0.4min。则该换乘关系的最佳衔接缓冲时间为min，最佳衔接时间为

表1 模型参数赋值表min

图6 算例的目标函数图像

3.2.2 算例分析

（1）改变1／λ1和1／λ2的取值，保持其余参数与基本算例一致，观察的变化情况，结果如表2所示。由表2可知随1／λ1变大而变大，随1／λ2变大而变小，当1／λ1和1／λ2同时变大时先变大后变小。说明当列车运行计划中安排的协调列车对的两列车延误时间较小时，延误松弛时间的加入有利于提高衔接成功率，而当延误时间较大时，加入延误松弛时间意义不大。

表2 最佳延误松弛时间与延误时间均值的关系 min

（2）改变h2的取值，保持其余参数与基本算例一致，观察的变化情况，结果如表3所示。由表3可知随着h2的变大而变大，在h2≈3min时，已接近0。这说明在运营高峰时段，乘客换乘等待时间已较小，不需要再加入延误松弛时间。

表3 最佳延误松弛时间与衔接列车

（3）针对一个换乘衔接关系，通过建立换乘站列车衔接时间优化模型并求解，可得到最佳的延误松弛时间，再根据已知的乘客换乘走行时间和等待舒适时间即得到最优的换乘衔接时间。在进行网络列车运行计划协调时，需保证在协调时段内，该衔接关系涉及的输送线路方向的第一列车的到站时刻与接续线路方向的第一列车的到站时刻的时间差恰好等于最优的列车衔接时间。具体方法是：首先确定输送线路方向的第一列车的始发时刻，并根据列车区间运行时间和停站时间得到该列车在协调换乘站的到站时刻，用此到站时刻加上最优的换乘衔接时间即得到接续线路方向的第一列车在协调换乘站的到站时刻，继而反推出接续列车的始发时刻。同理，以接续列车来推算输送列车也可行。之后，根据发车间隔推算后续列车的到发时刻。为保证每个列车对在协调换乘站都能实现最佳的衔接状态，建议在协调时段内两个线路方向采用相同的发车间隔。

4 结语

城市轨道交通网络化运营条件下，要求运营管理部门在准确把握路网客流分布特点的基础上，协调优化各线路列车运行计划，促成不同线路间列车到发时刻在换乘站的良好衔接匹配。合理的换乘站列车衔接时间是制订网络列车运行计划的基础，本文考虑列车运行随机延误的影响，提出了单个换乘站的列车衔接时间优化模型，并给出了具体算例。利用该模型可以为列车衔接计划中安排的换乘衔接关系确定最佳的列车衔接时间。该衔接时间既符合乘客的等待心理特点，又能够抵御列车延误对衔接关系的不良影响，可用于指导列车运行计划的协调编制。

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