一道2014年上海高考题的探究

王怀明

2014年上海高考理科第13题：某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为.

1 解法探究

解设小白得i分的概率为pi（i=1，2，3，4，5），因为E（ξ）=4.2，所以p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2，又p1+p2+p3+p4+p5=1，代人得p2+2p3+3p4+4p5=3.2.因为p2+p3+p4+p5≤1，所以p3+2p4+3p5≥2.2.因为p3+p4+p5≤1，所以p4+2p5≥1.2.因为p4+p5≤1，所以p5≥0.2.当且仅当p4=0.8，p3=p1=p2=0时，p5取最小值0.2.

2试题推广

若把问题推广为一般情形，会有怎样的结论呢？

结论1某游戏的得分为1，2，3，…， n，随机变量ξ表示玩该游戏的得分. 设得i分的概率为pi（i=1，2，…，n），则当n-1≤E（ξ）≤n时， （pn）min=E（ξ）+1-n；当1≤E（ξ）

证明设得i分的概率为pi（i=1，2，…，n），则p1+2p2+3p3+…+npn=E（ξ），又p1+p2+p3+…+pn=1，代人得p2+2p3+3p4+…+（n-1）pn=E（ξ）-1.因为p2+p3+…+pn≤1，所以p3+2p4+…+（n-2）pn≥E（ξ）-2.因为p3+p4+…pn≤1，所以p4+2p5+…（n-3）pn≥E（ξ）-3，依次类推，得pn-1+2pn≥E（ξ）-（n-2），

pn-1+pn≤1，所以pn≥E（ξ）-（n-1）.当且仅当pn-1=n-E（ξ），p1=p2=…=pn-2=0时，pn取最小值E（ξ）-（n-1），即E（ξ）+1-n.

结论2 某游戏的得分为1，2，3，…， n，随机变量ξ表示玩该游戏的得分. 设得i分的概率为pi（i=1，2，…，n），则（pn）max=E（ξ）n.

结论3 某游戏的得分为1，2，3，…，n，随机变量ξ表示玩该游戏的得分. 设得i分的概率为pi（i=1，2，…，n）， 则（pk）min=0，（pk）max=n-E（ξ）n-k（k=1，2，…，n-1）.