求函数的周期

范国华

（江苏省苏州市常熟市中学）

函数的周期出现在新教材必修（4）第一章三角函数中，它的定义是：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x 的值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。函数的周期不仅仅是三角函数的一个考点，在抽象函数上也是考查的一个对象，在此，我从问题的给出形式上做归纳总结，同时介绍处理的一些常用方法。

一、三角函数的周期

如果函数y=（fx）的周期为T，函数左右上下平移及纵坐标的变化都不能改变函数的周期，只有y=（fx）→y=（fax）时周期为T′=，一般地，它的考查点是三角函数，y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 为常数，且Aω≠0），它们的周期T=；y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ 为常数，且Aω≠0）的周期T=。还有通过图像的变换求函数的周期：

二、抽象函数给出几何性质

主要有以下几种形式

1．已知函数y=f（x），x∈R 满足f（x+T）=-f（x），则函数f（x）以2T 为周期的周期函数（证明：f（x+2T）=-f（x+T）=f（x））。

5．已知函数y=f（x），x∈R，满足f（a+x）=f（b+x）（b＞a），则函数f（x）以a-b 为周期的周期函数b-a（证明：f（a+x）=f（b+x）（b＞a））⇒f（（b-a）+x）=f（x））

6．若y=f（x），x∈R 满足f（x）=f（x-m）+f（x+m），则y=f（x）是以6 m 为周期的周期函数（m∈R+）。

（证略f（x）=f（x-m）+f（x+m） ①

所以f（x+m）=f（x）+f（x+2m） ②

所以f（x+2m）=-f（x-m）⇒f（x+3m）=-f（x）⇒f（x+6m）=f（x））

除了以上几种外，还有些非常有规律的形式

Ⅰ.函数的对称轴和奇偶性

1．已知函数y=f（x）为奇函数且关于x=a 对称，则函数y=f（x）以4a 为周期的周期函数（证明：函数y=f（x）关于x=a 对称，所以f（a+x）=f（a-x）⇔f（-x）=f（2a+x），又因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）；所以f（2a+x）=-f（x））。

2．已知函数y=f（x）为偶函数且关于x=a 对称，则函数f（x）以2a 为周期的周期

函数（证明：函数y=f（x）关于x=a 对称，所以f（a+x）=f（a-x）⇔f（-x）=f（2a+x），又因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）；所以f（2a+x）=f（x））。

Ⅱ.函数的两条对称轴

1．已知函数y=f（x）关于x=a 对称且关于x=b（b＞a）对称，则函数f（x）以2（b-a）周期为周期函数（证明：函数y=f（x）关于x=a 对称，所以f（a+x）=f（a-x）⇔f（-x）=f（2a+x）），同理f（-x）=f（2b+x），所以f（2a-x）=f（2b+x））

Ⅲ.函数的两个对称点

1.若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于两点A（a，0）和B（b，0）（b＞a）皆对称，y=f（x）是以2（b-a）为周期的周期函数。

（证明：因为若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于两点A（a，0）和B（b，0），则f（x）=-f（2a-x） ①

f（x）=-f（2b-x） ②

所以f（2a-x）=f（2b-x））即f（x）=f（x+2（b-a））

推广：若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于两点A（a，y0）和B（b，y0）（b＞a）皆对称，y=f（x）是以2（b-a）为周期的周期函数。（证明：把图象的平移关于两点A（a，0）和B（b，0）对称即可证明。）

Ⅳ.函数的对称点与对称轴

若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于点A（a，0）和直线x=b（b＞a）皆对称，则函数y=f（x）具有周期4（b-a）。

（证明：因为函数y=f（x）（x∈R）的图像关于点A（a，0），则f（x）=-f（2a-x） ①

函数y=f（x）（x∈R）的图像关于直线x=b 对称，则f（x）=f（2b-x） ②

所以f（2b-x）=-f（2a-x）即f（x+2（b-a）=-f（x）

推广：若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于点A（a，y0）和直线x=b（b＞a）皆对称，则函数y=f（x）具有周期4（b-a）。

（证明：把图像的平移关于点A（a，0）和直线x=b 对称即可证明。）