“实变函数”课程教学的研究

王 晶

(长沙大学数学与计算机科学系, 湖南 长沙 410022)

“实变函数”课程教学的研究

王 晶

(长沙大学数学与计算机科学系, 湖南 长沙 410022)

针对实变函数课程的特点，结合作者一线教学的经验，提出了该课程教学实施过程中的三点体会：理清思路，帮助学生减轻畏难情绪；利用现代教学辅助设备的同时，保留传统教学手段；着重培养学生的抽象思维能力.

实变函数；Lebesgue积分；Cantor 集.

“实变函数”是数学专业的基础课程[1-3]，它与“数学分析”密切相关，它的观念和方法逐渐渗入到数学的各个学科和领域，成为近代数学的“新三基”之一，同时它不仅是数学与应用数学专业本科生的一门必修课程，甚至很多经济专业、工科也将其作为一门必修课程.

然而由于“实变函数”这门课程理论性非常强，高度抽象，导致学生学习起来觉得非常困难，学生中流行一句话叫“实变函数学十遍，泛函分析心犯寒”，形象的说明了这门课程的抽象程度以及同学们对该课程的恐惧心理.笔者自从2009年开始，已经在长沙大学连续为5届数学专业大三学生讲授了“实变函数”这门课程，在一线讲台的经历，为自己积累了几点对这门课程研究的感想和体会，现将其整理成文，与大家探讨.

1 理清“实变函数”课程的思路，降低学生对课程的畏难情绪

在教学过程中，笔者深深的体会到，由于课程高度抽象，学生往往迷失在复杂的理论及证明中，以至于连课程的体系和思路都没弄清楚，这是学生觉得这门课程难学的一个原因.设想一个学生如果对整个课程的体系都不清楚，不知道讲的内容在整个课程中的地位，不清楚所学内容与后面的内容有什么联系和作用，还怎么能能力和信心去学好这门课程呢？

因此为了帮助学生理清这门课程的思路，减少学生对这门课程的陌生感和畏难情绪，笔者会先用2课时详细的向学生介绍“实变函数”课程的主要目的和内容：由于经典的Riemman积分存在着若干的“不足”，使得对积分进行相应运算操作很不方便，在19世纪末，20世纪初，法国数学家Lebesgue就从Riemman积分的定义着手进行修改，得到Lebesgue积分，而在修改过程中，又需要引入测度、可测等新的概念和定义，并且为了研究的严谨和完整性，还需要若干理论条件，等等.这样虽然用了2课时，可是作用却是不可低估的，它会让学生对整个课程的框架体系和内容有了一个大致的了解，会大概清楚接下来要学的是什么.

当然，由于“实变函数”课程太过于抽象，在学习的中途，学生也常常会困惑于长篇晦涩的证明，而淡忘课程的框架体系，因此在每个章节的学习中，在介绍新的概念、定义和定理之前，适当的回顾，让学生复习明白将要学习的内容在整个课程体系中的地位和作用，这样会使得学生在学习过程中方向比较明确，不再是“无头的苍蝇”，从而一定程度上降低了他们的畏难情绪，提高学生的学习信心与积极性.

2 保留传统教学手段，充分利用现代教学辅助设备

由于“实变函数”的整个课程体系仿佛是在搭建一栋理论上的房子，所有的基石来源于定义、定理，整门课程几乎是由定义、定理、引理、推论组成，例题、计算内容非常少，即使有作业，也基本上都是证明题.因此，在上《实变函数”这门课程的时候，虽然现代先进的教学手段可以很大程度上降低老师授课的辛苦程度，但笔者还是不厌其烦的保留传统的黑板板书教学，将所学的内容在黑板上清楚的板书出来，详实清楚的给出证明推导过程，并且在用到前面的知识或结论时，可以在黑板上一目了然的看到，这样会让所学课时的内容清清楚楚，加深对所学知识的印象，从而降低学习难度.笔者曾对所上班级的每一届学生都做过相应的询问，问他们是希望老师用传统板书还是用多媒体来上这门课程？无一例外的，学生的回答都是偏向于传统板书教学.

另一方面，由于课程中的很多内容并不能通过直观认识来建立理解，使得学生在学习的过程中，觉得非常困难.为了提高学生学习的积极性，笔者建议还应充分利用计算机等现有的教学辅助设备.比如在讲授“Cantor三分集”这一部分内容时，可以通过ppt课件动态演示cantor三分集的具体构造过程：先将[0,1]区间三等分，动态演示去掉中间的三分之一，再将剩下的区间分别三等分，再去掉中间的三分之一，过程可以不断的进行下去.这样通过直观的动态演示，把难以理解的概念形象化，让学生非常清楚直观的看到cantor集的构造过程，由于有了直观的认识，在此基础上研究cantor集的性质，就不会觉得虚无缥缈，摸不着边际了.这样结合现有的教学设备，化难为简，加深学生的直观理解，从而可以提高他们学习的积极性.

3 讲解深入浅出，培养学生的抽象思维能力和理解能力

通过前述的两点，可以在一定程度上降低学生的畏难情绪，和提高他们的学习积极性.但是由于“实变函数”内容所决定，这门课程高度抽象，理论性非常强，防不胜防，大部分的内容都难以建立直观上的理解和联系，甚至很多内容是“似是而非”、或者“似非而是”；另一方面，由于像长沙大学这些地方本科院校的学生抽象思维能力较弱，理解能力较差，对于“实变函数”这门高度抽象课程的认识和理解程度不够，学生中存在较为明显的厌学情绪.

因此假如仅仅凭借前述的两点，还远远不足以让学生学好这门课程，还必须在教学的过程中，采用启发、探究的方式，深入浅出的讲解，适当的对前面所学知识进行回顾，从根本上注重培养学生的抽象思维能力和理解能力.让学生体会为什么学，学有何用，想方设法充分调动学生的学习主动性和积极性，将抽象的理论教学课堂变成培养学生理解能力和抽象思维能力的地方，让学生能积极主动的进行学习，才能让学生能减少厌学情绪，积极能动地学好“实变函数”这门课程.

[1] 程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3] 张晓岚.实变函数与泛函分析简明教程[M] .北京:高等教育出版社,2004.

(作者本人校对)

Study on the Teaching of “Real Analysis” Course

WANG Jing

(Department of Mathematic and Computer Science, Changsha University, Changsha Hunan 410022, China)

Combined with the author’s experiences in teaching real analysis course and characteristics of the course, this paper puts forward some opinions on the improvement of the teaching, that are clarifying the frame of the course to reduce students’ fear towards learning, maintaining traditional teaching methods while using modern assistant equipment, and paying attention to cultivating students’ ability of abstract thought.

real analysis; Lebesgue integration; Cantor set

2015-03-28

长沙大学2014年教改项目(批准号:16).

王晶(1981— )，女，湖南邵阳人，长沙大学数学与计算机科学系副教授，博士.研究方向：图论及其应用、实变函数.

G423

A

1008-4681(2015)05-0120-02