磁场调制式永磁齿轮齿槽转矩分析

葛研军，王 玥，孙磊道

(1.大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028;2.大连天运电气有限公司，辽宁 大连 116020)*

0 引言

磁场调制式永磁齿轮(Field Modulated Permanent Magnetic Gear，FMPMG)的永磁体利用率高、转矩密度大，与机械齿轮相比具有轻载启动及过载保护特性，并且维护成本低，是一种高效的新型传动装置［1-3］.FMPMG主要由调磁极块、内磁圈转子(内转子)和外磁圈转子(外转子)三层同心部件组成.调磁极块在内、外转子间的空隙内沿圆周方向均匀分布，对转子永磁体产生的磁场进行调制，使内外转子的谐波磁场相互匹配实现转矩及转速传递.但调磁极块在调制气隙磁场时也会与永磁体相互作用产生齿槽转矩并增大转矩波动，对FMPMG的动力学性能产生较大影响［4］.因此如何减小齿槽转矩是决定FMPMG性能的关键技术之一.

目前绝大多数文献仅对FMPMG的调制机理、结构参数、涡流损耗以及传递效率等方面进行研究［5-10］，而对齿槽转矩的研究与分析相对较少.文献［11］建立了FMPMG齿槽转矩数学模型，并通过有限元仿真及样机实验对该模型的准确性加以验证，但并未对减小齿槽转矩的修型方法深入研究;文献［12］将FMPMG内转子与阻尼绕组结合，通过结构创新使FMPMG传递动力时产生阻尼转矩，以此抑制转子的转矩波动，然而这种方法不仅增加了FMPMG结构的复杂性，而且还削弱了永磁体的磁能利用率.

本文首先基于磁场能量法，建立FMPMG的齿槽转矩数理模型，以获得影响齿槽转矩的物理变量，通过分析这些变量得出影响齿槽转矩大小的结构参数;然后建立FEM模型，以内转子与调磁极块相互作用时产生的齿槽转矩为例(外转子的齿槽转矩分析方法与此相同)，提出相应的修型与设计方法，并通过仿真分析证明其可行性与有效性;最后以此为基础对所建模型进行修型优化，从而有效减小齿槽转矩，提高FMPMG的动力学性能.

1 齿槽转矩模型建立

FMPMG中内转子与调磁环作用产生的齿槽转矩为内转子产生的磁场能量W(α)相对于调磁环位置角α的导数［13］.

设齿槽转矩为T(α)，则

式(2)中，μ0为真空磁导率，V为磁能体积范围，G(θ)为气隙磁导率分布函数，B(θ，α)为气隙磁场的磁感应强度函数.

设FMPMG轭铁的磁导率为无穷大，则内转子产生的磁能主要存储在永磁体及内转子与调磁环之间的气隙中，其体积范围为:

式中，R1、Rm2分别为内转子轭铁外径和调磁环内径，Ls为FMPMG的轴向长度.

将式(3)代入式(2)，得

由于FMPMG的永磁体与调磁极块在各自区域内均呈圆周均匀分布，所以函数G2(θ)，B2(θ，α)可通过傅里叶展开［14］:

式(5)及式(6)中，Nm、No分别为调磁极块及内转子永磁体个数，gnNm、bnNo分别为与之对应的傅里叶展开系数.

将式(4)、式(5)及式(6)分别代入式(1)，并由三角函数的正交性得

式中，NL为Nm与No的最小公倍数，GnNL与BnNL分别为函数G(θ)、B(θ，α)的傅里叶展开系数.

由式(7)可知，与FMPMG齿槽转矩大小相关的变量有 Ls、R1、Rm2、NL、GnNL及 BnNL.

设计FMPMG时，为使FMPMG的永磁体磁能利用率最大，应首先确定R1、Rm2及Ls［15］.此时齿槽转矩仅与NL、GnNL及BnNL相关，所以需针对NL、GnNL及BnNL分析与之相应的结构参数，并提出相关修型方法以便进一步优化结构参数，减小齿槽转矩.

2 结构修型与优化

设FMPMG传递功率P=5.5 kW，则由文献［15］可得表1所示的结构参数，其机械结构如图1所示.

表1 FMPMG结构参数

图1 FMPMG机械结构

2.1 NL与齿槽转矩关系

由式(7)知:NL与相邻调磁极块间隙个数相关，因此改变间隙个数可以改变NL，进而改变齿槽转矩的大小.

当FMPMG传动比一定时，Nm与No为常数，则相邻调磁极块间隙数也为常数，此时可在图2所示修型前的调磁极块底端开槽以增加间隙个数并进而改变NL值，修型后结果如图所示.

图2 调磁极块修型前后对比

图中，调磁极块底端开槽数为2，槽间角φ=4.3°，槽宽角 γ=1.4°，槽深 δ=1 mm.

通过FEM计算修型前后的齿槽转矩可得图3所示齿槽转矩曲线.

图3 调磁极块修型前后齿槽转矩曲线

由图3可知:调磁极块底端开槽后，齿槽转矩幅值由修型前的696 mN·m减小至修型后的110 mN·m，且齿槽转矩周期角度由原来的2.15°减小至修型后的0.92°，说明调磁极块底端开槽后，可使内转子相对调磁环转动同一角度时的间隙个数增加(NL由168增至504).由于转子的输出转矩由平均转矩和NL次谐波转矩(即齿槽转矩)合成［14］，因此当谐波转矩次数增加3倍时，齿槽转矩周期数以及波动幅值也相应减小.

2.2 GnNL与齿槽转矩关系

由于FMPMG的调磁极块具有周向均布特征，因此其气隙磁导率函数G(θ)的分布如图4所示.

图4 气隙磁导率分布图

由图4知，G(θ)的傅里叶展开与dc密切相关，对dc进行修型(即改变极弧角)可使GnNL发生变化从而改变齿槽转矩.

取表1中的dc值分别为:dc1=11.5°＞ dc与dc2=7°＜dc.通过FEM建模计算齿槽转矩，并将所得齿槽转矩曲线与表1模型的齿槽转矩比较，可得图5所示的转矩曲线.

图5 dc修型前后齿槽转矩曲线

图5中，齿槽转矩分别减小至109 mN·m和247 mN·m，因此合理增大或减小dc均能减小齿槽转矩.这是因为dc变化时，G(θ)中的矩形波宽度也随之变化，即GnNL也随之发生了变化.

由于 G(θ)中不同次展开项拥有不同的GnNL，因此存在对齿槽转矩影响最大的展开项.当dc为最优值时，调磁环调制作用也最优，使此展开项中的GnNL取最小值，从而减少无用谐波影响，有效削弱齿槽转矩.

图5中的计算结果并未考虑外转子永磁体对调磁极块的影响，因此为防止dc减小时出现磁饱和现象，应优先选择增大dc的修型方法，这样在减小齿槽转矩的同时还可保证调磁极块具有良好的磁导率.

2.3 BnNL与齿槽转矩关系

由于BnNL取决于单个永磁体在单位极距下气隙磁场的有效极弧角，即BnNL与永磁体极弧系数相关［15］.为此可在永磁体相互连接处开槽，即对永磁体修型以改变齿槽转矩，如图6所示.

图6 永磁体修型前后对比

图6中，取下槽宽角c=1.8°，上槽宽角d=4.5°.通过FEM计算可得图7所示的齿槽转矩对比曲线.

图7中，修型后齿槽转矩的波动幅值减小至449 mN·m.B(θ，α)中各次展开项对应气隙磁场中的各次谐波，而不同谐波对齿槽转矩的影响也不同.极弧系数最优时，对齿槽转矩影响较大展开项的BnNL最小.

图7 永磁体修型前后齿槽转矩

由于各次谐波磁密与极弧系数呈非线性变化，因此选取极弧系数时，应根据文献［16］求出对齿槽转矩影响最大的谐波次数.表1中，对齿槽转矩影响最大的谐波次数为8，因此可通过有限元分析计算求出该次谐波在幅值最小时的极弧系数.

3 修型前后静、瞬态特性比较

基于上述三种优化方法，分别对表1所示的dc、底端开槽数及永磁体极弧系数进行优化修型:①通过FEM计算调整调磁极块宽度并获得最优值;②对极块底端开槽并通过FEM仿真选取合理槽口参数;③选择不同极弧系数优化内转子永磁体宽度并通过仿真对比获得最优值.

表1优化后的模型及修型参数如图8及表2所示(未变参数不在表2列选中).

图8 调磁极块及永磁体修型

表2 表1模型优化后的结构参数

对表2模型进行齿槽转矩静态仿真并与表1对比，可得图9所示的齿槽转矩对比曲线.

图9 表1与表2齿槽转矩静态曲线

由图9可知，表2所示的齿槽转矩较表1有显著减小.将图9与上述各图形曲线对比，可知dc修型方法对齿槽转矩的削弱作用最明显，且该修型方法仅需改变单个尺寸参数，因此无论参数优化还是实体加工均较前述其它方法具有更为显著的优势.

由于FMPMG的静态特性未考虑涡流损耗及转动惯量等因素，因此无法反应其瞬态特性.为进一步验证修型方法的合理性，应对表1及表2进行瞬态仿真分析.

若设外转子输入转速ωi=20 r/m，负载转矩TL=42.5 N·m，则表1及表2的转矩瞬态曲线如图10所示.

图10 表1与表2转矩瞬态曲线

由图10可知:由于修型后齿槽转矩被极大地削弱，因此表2输出的转矩曲线由启动至平稳所需的调整时间也缩短(由1 s减小至0.5 s);同时表2输出转矩的波动幅值相较表1也明显减弱，即转矩特性曲线更加平稳.

4 结论

(1)优化调磁极块宽度、转子极弧系数以及对调磁极块进行修型可调整 G(θ)、B(θ，α)及NL值，实现齿槽转矩减小目的;

(2)设计FMPMG时，可在粗选参数基础上首先优化调磁极块宽度;然后通过仿真对比确定调磁极块各修型参数;最后优化永磁体极弧系数.如此反复可极大减小FMPMG运行时产生的齿槽转矩;

(3)相较其它方法，dc修型的效率最高，且加工工艺简单，可作为FMPMG削弱齿槽转矩的首选方法;

(4)削弱FMPMG齿槽转矩不仅可使其转矩输出更加平稳，而且缩短了其启动至平稳所需时间，进一步提高了其动力学性能.

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