具有治疗和疫苗接种的SVIR模型的稳定性分析

侯文涛, 王 辉, 胡志兴, 廖福成

(北京科技大学 数理学院 北京 100083)

具有治疗和疫苗接种的SVIR模型的稳定性分析

侯文涛, 王 辉, 胡志兴, 廖福成

(北京科技大学 数理学院 北京 100083)

研究了一类具有分段治疗和疫苗接种的SVIR传染病模型.首先讨论了系统在不同情况下各个平衡点的存在条件；然后研究了系统各个平衡点的局部渐近稳定性,并说明了系统会出现后向分支的充分条件；最后对所得结果进行了数值模拟.

治疗; 接种; 平衡点; 稳定性

0 引言

近年来,关于预防和控制传染病的数学模型已经被广泛研究.文献[1]研究了一个包含疫苗接种和多个平衡点的SIS传染病模型,文献[2]研究了一类包含疫苗接种的SVIR传染病模型,文献[3]研究了一类带有分段治疗函数的SIR模型，文献[4]研究了一类具有疫苗接种和治疗的SIVS传染病模型. 基于此,本文根据文献[5]建立的数学模型,添加治疗函数,并将治愈后的个体变为恢复者,建立了一个具有治疗函数和疫苗接种的SVIR模型,并研究了模型的平衡点及其稳定性.

1 模型的建立

下面研究一类具有治疗函数和疫苗接种的SVIR模型：

(1)

(2)

容易验证Ω是系统(1)的正向不变集.

当0≤I≤I0时,系统(1)变为

(3)

当I>I0时,系统(1)变为

(4)

为了方便计算,记

2 平衡点的存在性

2.1 无病平衡点

(5)

2.2 染病平衡点

当I>I0时,令系统(4)右端为0，经计算可以得到

(6)

和关于I的方程式β(μ+γ)I2+BI+μk(1+ψκ0)=0，其中：B=μ(μ+γ)(1+ψκ0)+βk-Aβ.若B≥0,方程显然没有正根.因此假设B<0,可得

(7)

要使方程有正根还必须满足Δ≥0，其中：Δ=B2-4μkβ(μ+γ)(1+ψκ0)，可得

(8)

定理1E*是系统(2)的一个正平衡点，当且仅当1

定理2 如果 R0(ψ)

① 如果p1

② 如果p1

③ 如果p1≥p2,那么平衡点E1不存在.当 R0(ψ)>p2时,平衡点E2存在；当 R0(ψ)≤p2时，平衡点E2不存在.

推论1 如果p1

证明 由定理2①知，当p1

3 平衡点稳定性分析

根据文献[6-7]可知：

当0≤I≤I0时,系统(1)化为

(9)

当I>I0时,系统(1)化为

(10)

3.1 无病平衡点稳定性分析

定理3 如果 R0(ψ)<1,那么无病平衡点E0是局部渐近稳定的.

证明 系统(9)在无病平衡点(S0,0)处的特征方程为

(11)

3.2 染病平衡点稳定性分析

定理4 如果 R0(ψ)>1,那么正平衡点E*是局部渐近稳定的.

证明 系统(9)在正平衡点(S*,I*)处的特征方程为

(12)

(13)

显然可证，当 R0(ψ)>1时，(13)只可能有负实部的根，从而定理4得证.

证明 系统(10)在正平衡点Ei(i=1,2)处的特征方程为

(14)

(15)

4 数值模拟

例1 取A=235,β=0.004,μ=0.01,ψ=0.15,ε=1.2,γ=0.1,α=0.03,I0=400， R0(ψ)=15.106 5,p0=34.159 0,p1=36.596 6,p2=34.684 2.此时满足定理1①的条件,E*=(327.500 0,167.514 3)，E*唯一存在且是局部渐近稳定的(图1).

例2 取A=120,β=0.005,μ=0.1,ψ=0.4,ε=2,γ=0.05,α=0.15,I0=100， R0(ψ)=2.683 4,p0=2.565 2,p1=2.127 0,p2=2.923 1.此时满足定理2①的条件，E1=(298.746 7,148.839 0),E2=(115.868 7,465.827 6)，平衡点E1不稳定,E2是局部渐近稳定的.另外，还存在E*=(430.000 0,87.534 9)且是局部渐近稳定的(图2).

5 小结

[1] Li Jianquan, Ma Zhien, Zhou Yicang. Global analysis of SIS epidemic model with a simple vaccination and multiple endemic equilibria[J]. Acta Math Sci, 2006, 26(1):83-93.

[2] Liu Xianning, Takeuchi Y, Iwami S. SVIR epidemic models with vaccination strategies[J]. Theor Bio, 2008, 253 (1):1-11.

[3] Wang Wendi. Backward bifurcation of an epidemic model with treatment[J]. Math Biosci, 2006, 201(1/2):58-71.

[4] Li Xuezhi, Wang Jing, Ghosh M. Stability and bifurcation of an SIVS epidemic model with treatment and age of vaccination[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34 (2):437-450.

[5] Duan Xichao, Yuan Sanling, Li Xuezhi. Global stability of an SVIR model with age of vaccination[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 226:528-540.

[6] Iannelli M. Mathematical Theory of Age-structured Population Dynamics[M].Pisa:Giardini Editori, 1994:12-46.

[7] Miller R K. Nonlinear Volterra integral equations[J].J London Math Soc,1971,217(3):503-510.

(责任编辑：孔 薇)

Stability Analysis of an SVIR Model with Treatment and Vaccination

HOU Wentao, WANG Hui, HU Zhixing, LIAO Fucheng

(SchoolofMathematicsandPhysics,BeijingUniversityofScienceandTechnology,Beijing100083,China)

An SVIR epidemic model with staged treatment and vaccination was studied. Firstly, the existence conditions of the equilibrium points in different cases were discussed. Then, the local asymptotically stability of the equilibrium points was studied, and the sufficient conditions for the system to occur the backward bifurcation were illustrated. Finally, the results were obtained by numerical simulation.

treatment; vaccination; equilibrium point; stability

2015-06-08

国家自然科学基金资助项目，编号61174209; 北京科技大学冶金工程研究院基础研究项目，编号YJ2012-001.

侯文涛(1989—)，男，山西平遥人，硕士研究生，主要从事生物数学研究，E-mail:1282086420@qq.com.

侯文涛，王辉，胡志兴，等.具有治疗和疫苗接种的SVIR模型的稳定性分析[J].郑州大学学报：理学版，2015，47(4)：38-42.

O175

A

1671-6841(2015)04-0038-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.007