二维空间中有唯一领导者的集群模型分析

余亚东，侯为根

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

二维空间中有唯一领导者的集群模型分析

余亚东，侯为根

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

为了研究平面内的动物集群在运动过程中的同步和聚集现象，对具有唯一领导者的动物集群进行分析，建立了每个个体的运动方向随时间更新的数学模型。运用矩阵理论证明这种动物集群模型在运动过程中具有同步性和聚集性，从而证明动物集群通过个体间的感知作用可以实现同步运动。

集群；领导者；同步；随机矩阵

对于二维空间中的动物集群运动（如草原上马群的奔跑），虽然每个个体在初始时刻的速度方向不同，但是最终整个集群中所有个体会具有相同的运动方向，即该集群最终会同步。对于这一现象国内外众多学者做了大量研究，提出了著名的Boid模型和Vicsek模型等并对此现象加以解释和证明。如文献[1-4]研究了基于动物个体之间相互感知作用的Vicsek模型，其中：文献[1]研究了Vicsek模型连通和同步，得到了Vicsek模型连通的条件；文献[2-3]对Vicsek模型进行改进，提高了收敛效率；文献[4]给出了Vicsek模型在工程科学中的应用实例。文献[5-7]给出了基于个体间吸引力与排斥力作用的集群运动模型，其中文献[5]研究了有界交互作用下的集群运动，并对此进行仿真，表明集群系统在此条件下能够实现稳定收敛；文献[6]研究各向异性的群体行为，通过实例仿真表明个体最终会聚集在集群加权中心的有界区域内；文献[7]提出了多维空间下集群集聚模型，证明了个体会聚集成具有内聚性的集群。文献[8]研究了如何构建一个线性的数学模型去模拟实际问题的方法。

在动物的集群运动中，有些个体是具有特殊地位的领导者（如羊群中的领头羊），其运动不受其他个体的影响，集群中其他个体在运动过程中逐渐使得自己的运动方向与领导者的运动方向保持一致。本文旨在建立一种具有唯一领导者的二维空间中的集群运动模型，并证明模型具有同步性，且所有个体与领导者间的距离始终小于一个有限值。

1 模型构建

考虑在二维空间中的集群S有N个个体，分别用1,2,3,…，N表示，S={1,2,…,N}，其中“1”代表这个集群中的领导者。假定集群中所有个体的运动速率均为v0，领导者的运动方向始终不变，尽管如此由于其他个体的运动方向可能时刻在变，因此这些个体的运动实际上可能是曲线运动。在时间轴上从初始时刻开始依次取等间隔时刻：t0,t1,t2,…,tk,…，Δt=tk-tk-1(k∈N*，N*表示正整数集)。因为个体的运动状态具有一定的连续性，假定时间间隔Δt足够小，以至于个体在[tk-1,tk]内的运动可以看作是匀速直线运动。

为研究二维空间的集群运动，建立平面直角坐标系，用αi(tk)表示个体i在tk时刻速度的方向(即运动方向与x轴正方向的夹角)，显然有αi(tk)∈(-π,π]。假定个体i(2≤i≤N)在tk时刻的运动方向取决于其在tk-1时刻的运动方向和领导者的运动方向，并受周围其他个体的运动方向的影响，显然其余个体对个体i的影响力大小与距离成反比，用dij(tk)表示tk时刻个体i和个体 j之间的距离，因此个体i在tk时刻的运动方向可以用式(1)表示

其中：λ＞0；θ＞0；μ＞0；λ+θ+μ=1；Si=S{1,i}。

用(xi(tk),yi(tk))表示个体i在tk时刻的位置坐标，由于个体在时间间隔[tk-1,tk]内的运动可以看作是匀速直线运动，因此其位置坐标按式(2)更新

2 同步性与聚集性证明

2.1预备定理

为证明同步性与聚集性，作为预备，先来证明关于矩阵的两个性质。

定理1A和B均为n阶非负方阵，若A的每一行和均为a，Β的每一行和均为b，则矩阵AB的每一行和均为ab。

定理2A(k)为一列n阶随机矩阵(行和为1的非负矩阵)，且A(k)具有如下形式

令C(k)=A(k)A(k-1)…A(1)=(cij(k))n×n，则有，其中0＜λ＜1。

2.2同步性

定理3动物集群的运动过程中，所有个体的运动方向会与领导者趋于一致，即有

2.3聚集性

定理4 存在一个常数r，满足d1i(tn)≤r(n∈N*)。

3 结 语

本文所构建的集群运动模型，通过上述定理可以看出最终其所有个体运动方向趋于一致，且任意两个个体之间的距离会控制在一定范围内，也就是说此集群运动模型具有同步性和聚集性。

[1]刘志新，郭雷.Vicsek模型的连通和同步[J].中国科学，2007,37(8):979-988.

[2]高建喜.一种提高Vicsek模型收敛效率的方法[J].控制与决策，2009,24(8):1269-1272.

[3]陈世明.一类改进的Vicsek模型的收敛性能[J].信息与控制，2011,40(3):318-322.

[4]崔颢.基于Vicsek模型的导弹集群建模分析[J].航空兵器，2013(1):27-31.

[5]陈世明.特征个体有界交互作用构成的集群模型[J].控制理论与研究，2010,27(9):1227-123.

[6]毛学志.各向异性的群体行为分析[J].系统科学与数学,2011,31(8):913-920.

[7]Gazi V，Passion K M.Stability analysis of swarms[J].IEEE Trans onAutomatic Control,2003,48(4):692-697.

[8]侯为根.一类参数规划问题最优解的结构及其应用[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2001,18(3):261-265.

责任编辑：丁吉海

Analysis of Model with a Unique Cluster Leader in Two-dimensional Space

YU Yadong HOU Weigen
(School of Mathematics&Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

In order to study animal cluster synchronization and aggregation phenomenon during movement in the plane,animal cluster with the only leader was analyzed.Mathematical model of movement direction of each individual updated over time was built.With matrix theory the model was proved to be with aggregation and synchronism during movement,which indicates that animal cluster can achieve synchronous motion through mutual awareness between each individual.

cluster;leader;synchronous;random matrix

O242.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.014

2014-06-20

国家自然科学基金项目(31300125)

余亚东(1988-)，男，安徽蚌埠人，硕士生，研究方向为偏微分方程与数学建模。

侯为根(1962-)，男，安徽繁昌人，副教授，研究方向为偏微分方程与数学建模。

1671-7872(2015)-01-0072-04