对人教版教科书《数学·A版》的又22条修改建议

甘志国

笔者著《教材教法》（哈尔滨工业大学出版社，2014）对普通高中课程标准实验教科书《数学·A版》提出了若干修改建议，下面再提出22条修改建议，不当之处，敬请读者批评指正.1 对《必修1》的又4条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第8次印刷）（本文简称《必修1》）再给出以下4条修改建议.

i）第17页倒数第九行中的“的集合分别表示为”改为“的集合用区间分别表示为”.

ⅱ）第18页的旁白“你也可以利用计算器或计算机画出例2中四个函数的图象，根据图象进行判断”有误：因为利用当前的计算器或计算机画出（4）y=x2x与y=x的函数的图象完全一致.

ⅲ）建议把第28页的两处“定义域I内”均改为“定义域I上”.

ⅳ）第101页头三段话的叙述有误，因为可举出反例：

在（0，+∞）上函数g（x）=-1x，h（x）=1-1x2都是增函数且都是二阶可导函数，h′（x）=2x3是减函数，limx→+∞h′（x）g′（x）=limx→+∞2x31x2=limx→+∞2x=0，但可证g（x）<；h（x）（x>；1）恒成立.

详细论述及修改建议可见笔者发表于《中小学数学（高中）》（高中）2014年第9期第37—38页的文章《“增长速度快，函数值就会超过”吗》.2 对《必修2》的又2条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）（本文简称《必修2》）再给出以下2条修改建议.

ⅰ）建议把《必修2》第133页习题第5题（即最后一题）改为：

已知点P（-2，-3）和以Q为圆心的圆C：（x-4）2+（y-2）2=9.

（1）画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆C′，再求出它的方程；

（2）作出圆C和第（1）问中的圆C′的两个交点A，B后，直线PA，PB均是圆C的切线吗？为什么？

（3）对于第（2）问的点A，B，求直线AB的方程.

ⅱ）《必修2》的“本书部分数学符号”中写道“a∩b=A”表示“指直线a与直线b相交于点A”，“a∩α=A”表示“指直线a与平面α相交于点A”.

而《必修1》第10页又写道“直线l1，l2相交于一点P，可表示为l1∩l2={点P}”.

这两者的表示不一致（显然《必修1》的表示规范些，《必修2》的表示是一种约定俗成），建议《必修2》中第一次出现这种表述时（在第43页例1的解答中），以旁注的形式作出说明：在立体几何中，为了简便，就把“a∩α={点A}”，“a∩l={点P}”分别写成“a∩α=A”、“a∩l=P”，等等.3 对《必修5》的又2条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）（本文简称《必修5》）再给出以下2条修改建议.

ⅰ）建议把《必修5》第27页的叙述“数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数”改为“数列可以看成定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数当自变量从小到大取值时对应的一列函数值”.

ⅱ）建议把《必修5》第46页第4题中的“所有各边”改成“各边”.4 对《选修21》的又4条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修21·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文简称《选修21》）再给出以下4条修改建议.

ⅰ）建议对《选修21》第37页习题2.1的B组第1题作改动.

这道题是：

过点P（3，4）的动直线与两坐标轴的交点分别为A，B，过A，B分别作两轴的垂线交于点M，求点M的轨迹方程.

与《选修21》配套使用的《教师教学用书》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《教师用书21》，下同）第40页给出的解答如下：

由题意，设经过点P的直线l的方程为xa+yb=1.因直线l过点P（3，4），则3a+4b=1，即ab-4a-3b=0.由已知点M的坐标为（a，b），故点M的轨迹方程为xy-4x-3y=0.

笔者认为解答本题须分类讨论.

可不妨设点A，B分别在x轴，y轴上.须分两种情形来求解：

（1）若过点A作y轴的垂线，则过点B作x轴的垂线，则两垂线的交点M就是坐标原点O（0，0），得此时点M的轨迹方程为x2+y2=0.

（2）若过点A作x轴的垂线，则过点B作y轴的垂线，又分两种情形：

①当过点P的动直线过坐标原点O时，得点O，A，B，M重合，所以M（0，0）.

②当过点P的动直线不过坐标原点O时，可设该动直线的方程为xa+yb=1，得M（a，b）.

因直线l过点P（3，4），所以3a+4b=1，即ab-4a-3b=0（ab≠0）.

总之，可得点M的轨迹方程为xy-4x-3y=0.

笔者建议把这道题改述为：

过点P（3，4）的动直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线交于点M，求点M的轨迹方程.

另解1 设点M（x，y），则A（x，0），B（0，y），AP=（3-x，4），BP=（3，4-y）.

因为AP∥BP，所以（4-y）（3-x）=3×4，即xy-4x-3y=0，此即点M的轨迹方程.

另解2 可设直线ABP的方程为y-4=k（x-3）（k≠0），得A3-4k，0，B（0，4-3k）.

设点M（x，y），得A（x，0），B（0，y），所以x=3-4k，y=4-3k，消去参数k，得点M的轨迹方程为xy-4x-3y=0.

ⅱ）《教师用书21》第89页对《选修21》第98页第9题给出的答案中的“126”应改为“314”.

ⅲ）《教师用书21》第99页对《选修21》第107页第2题给出的答案“68”应改为“217”.

ⅳ）《教师用书21》第105页给出的答案中的“a=（2-1，1）”应改为“a=（2，-1，1）”.5 对《选修22》的又3条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修22·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文简称《选修22》）再给出以下3条修改建议.

ⅰ）第71页“归纳推理”的定义不对.

《选修22》第71页写道：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

笔者认为这段话是不对的：因为归纳包括完全归纳和不完全归纳.

建议把这段话改述为：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，是不完全归纳推理（归纳推理简称归纳，包括完全归纳和不完全归纳）.简言之，不完全归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

ⅱ）建议把第81页正文倒数第三行中的“扮演着重要角色”改为“扮演了重要角色”.

ⅲ）建议把第92页第一段话最后一行中的“不敢肯定”改为“不能肯定”.6 对《选修23》的又6条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修23·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（本文简称《选修23》）再给出以下6条修改建议.

ⅰ）《教师用书23》第10页对《选修23》第12页第4题给出的答案是8，笔者认为应当这样求解：每个开关有闭合、断开两种情形，得28=256种情形，可只考虑最下面的四个开关知，有且仅有7种断开的情形，所以答案为256-7=249.

ⅱ）《教师用书23》第27页对《选修23》第36页第1题第（1）小题解答中的“P”应全部改为“p”.

ⅲ）建议把第31页第3题中的“r”改为“k”.因为在大纲教材中二项式展开式的通项用Tr+1表示，而现行教材《选修23》第30页中的通项用Tk+1表示.

ⅳ）《教师用书23》第30页给出的《选修23》第41页第1（6）题的答案“1或-1”应改为“（-1）n”，题目中最好也应添上条件“（n∈N*）”.

ⅴ）《教师用书23》第32页《Ⅲ 自我检测题》的第一题的第3题、第二题的第4题、第三题的第2（3）题及其参考答案分别是：

题1 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（ ）种.

A.60 B.48 C.36 D.24

参考答案 B.将A，B两人作为一个整体，与C，D，E三人一起进行排列，得到不同的排法A44种.

题2 32+1250的二项展开式中，有理项共有 项.

参考答案 4.32+1250的二项展开式的通项是Tk+1=Ck50（3x）50-k（x）-k=Ck50x100-5k6，在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50时，100-5k6取正整数，即有理项有9项.

题3 现有6本书，如果平均分成三个组，求分法种数.

参考答案 C36×C23÷A33=10（种）.

笔者对参考答案的分析

对于题1，答案显然是D（原书是印刷错误）.

对于题2，答案应改为：

9.32+1250的二项展开式的通项是

Tk+1=Ck50（32）50-k（2）-k=Ck502100-5k6.

在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50时，100-5k6取正整数，即有理项有9项.

对于题3，原解法显然是错误的.这是典型的平均分组问题，答案为C26C24C22A33=15（种）.

ⅵ）对第53页例2解法的商榷.

《选修23》第52页介绍了下面两个条件概率公式：

①若A，B为两个事件，且P（A）>；0，则P（BA）=P（AB）P（A）；

②若B和C是两个互斥事件，则P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）.

《选修23》第53页的例2及其解法是：

例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.

解 设“第i次按对密码”为事件Ai（i=1，2），则A=A1∪（A1A2）表示“不超过2次就按对密码”.

（1）因为事件A1与A1A2互斥，由概率的加法公式得

P（A）=P（A1）+P（A1A2）=110+9×110×9=15.

（2）设“最后一位按偶数”为事件B，则

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=15+4×15×4=25.

显然，第（2）问是条件概率，以上求解中先用的是条件概率公式②，但接下来求两个条件概率P（A1B），P（A1A2B）时并没有用条件概率公式①，而是直接按古典概型的计算公式来求解的.

接下来，若按条件概率公式①，得

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=P（A1B）P（B）+P（A1A2B）P（B）请注意，该式中的两个“P（B）”的含义是不一样的：前者表示“第一次按数字时按的是偶数”，所以P（B）=510=12；后者表示“第一次、第二次按数字时按的均是偶数”，所以P（B）=5×410×9=29.所以原解法应予以纠正（不能使用条件概率公式②求解）.

可这样用条件概率公式①来求解第（2）问：

设“第i次按对密码”为事件Ai（i=1，2），“第一次按数字时按的是偶数”为事件B，“第一次、第二次按数字时按的均是偶数”为事件C，则所求概率为

P（A1B）+P（A1A2C）=P（A1B）P（B）+P（A1A2C）P（C）=110510+4×110×95×410×9=15+4×15×4=25。7 对《选修41》的又1条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修41·A版·几何证明选讲》（人民教育出版社，2007年第2版）（本文简称《选修41》）再给出以下1条修改建议.

在第22页的习题1.4中，“（第2题）”的图形应删去，“（第3题）”的图即“（第2题）”的图.

ⅱ）《教师用书21》第89页对《选修21》第98页第9题给出的答案中的“126”应改为“314”.

ⅲ）《教师用书21》第99页对《选修21》第107页第2题给出的答案“68”应改为“217”.

ⅳ）《教师用书21》第105页给出的答案中的“a=（2-1，1）”应改为“a=（2，-1，1）”.5 对《选修22》的又3条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修22·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文简称《选修22》）再给出以下3条修改建议.

ⅰ）第71页“归纳推理”的定义不对.

《选修22》第71页写道：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

笔者认为这段话是不对的：因为归纳包括完全归纳和不完全归纳.

建议把这段话改述为：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，是不完全归纳推理（归纳推理简称归纳，包括完全归纳和不完全归纳）.简言之，不完全归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

ⅱ）建议把第81页正文倒数第三行中的“扮演着重要角色”改为“扮演了重要角色”.

ⅲ）建议把第92页第一段话最后一行中的“不敢肯定”改为“不能肯定”.6 对《选修23》的又6条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修23·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（本文简称《选修23》）再给出以下6条修改建议.

ⅰ）《教师用书23》第10页对《选修23》第12页第4题给出的答案是8，笔者认为应当这样求解：每个开关有闭合、断开两种情形，得28=256种情形，可只考虑最下面的四个开关知，有且仅有7种断开的情形，所以答案为256-7=249.

ⅱ）《教师用书23》第27页对《选修23》第36页第1题第（1）小题解答中的“P”应全部改为“p”.

ⅲ）建议把第31页第3题中的“r”改为“k”.因为在大纲教材中二项式展开式的通项用Tr+1表示，而现行教材《选修23》第30页中的通项用Tk+1表示.

ⅳ）《教师用书23》第30页给出的《选修23》第41页第1（6）题的答案“1或-1”应改为“（-1）n”，题目中最好也应添上条件“（n∈N*）”.

ⅴ）《教师用书23》第32页《Ⅲ 自我检测题》的第一题的第3题、第二题的第4题、第三题的第2（3）题及其参考答案分别是：

题1 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（ ）种.

A.60 B.48 C.36 D.24

参考答案 B.将A，B两人作为一个整体，与C，D，E三人一起进行排列，得到不同的排法A44种.

题2 32+1250的二项展开式中，有理项共有 项.

参考答案 4.32+1250的二项展开式的通项是Tk+1=Ck50（3x）50-k（x）-k=Ck50x100-5k6，在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50时，100-5k6取正整数，即有理项有9项.

题3 现有6本书，如果平均分成三个组，求分法种数.

参考答案 C36×C23÷A33=10（种）.

笔者对参考答案的分析

对于题1，答案显然是D（原书是印刷错误）.

对于题2，答案应改为：

9.32+1250的二项展开式的通项是

Tk+1=Ck50（32）50-k（2）-k=Ck502100-5k6.

在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50时，100-5k6取正整数，即有理项有9项.

对于题3，原解法显然是错误的.这是典型的平均分组问题，答案为C26C24C22A33=15（种）.

ⅵ）对第53页例2解法的商榷.

《选修23》第52页介绍了下面两个条件概率公式：

①若A，B为两个事件，且P（A）>；0，则P（BA）=P（AB）P（A）；

②若B和C是两个互斥事件，则P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）.

《选修23》第53页的例2及其解法是：

例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.

解 设“第i次按对密码”为事件Ai（i=1，2），则A=A1∪（A1A2）表示“不超过2次就按对密码”.

（1）因为事件A1与A1A2互斥，由概率的加法公式得

P（A）=P（A1）+P（A1A2）=110+9×110×9=15.

（2）设“最后一位按偶数”为事件B，则

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=15+4×15×4=25.

显然，第（2）问是条件概率，以上求解中先用的是条件概率公式②，但接下来求两个条件概率P（A1B），P（A1A2B）时并没有用条件概率公式①，而是直接按古典概型的计算公式来求解的.

接下来，若按条件概率公式①，得

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=P（A1B）P（B）+P（A1A2B）P（B）请注意，该式中的两个“P（B）”的含义是不一样的：前者表示“第一次按数字时按的是偶数”，所以P（B）=510=12；后者表示“第一次、第二次按数字时按的均是偶数”，所以P（B）=5×410×9=29.所以原解法应予以纠正（不能使用条件概率公式②求解）.

可这样用条件概率公式①来求解第（2）问：

设“第i次按对密码”为事件Ai（i=1，2），“第一次按数字时按的是偶数”为事件B，“第一次、第二次按数字时按的均是偶数”为事件C，则所求概率为

P（A1B）+P（A1A2C）=P（A1B）P（B）+P（A1A2C）P（C）=110510+4×110×95×410×9=15+4×15×4=25。7 对《选修41》的又1条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修41·A版·几何证明选讲》（人民教育出版社，2007年第2版）（本文简称《选修41》）再给出以下1条修改建议.

在第22页的习题1.4中，“（第2题）”的图形应删去，“（第3题）”的图即“（第2题）”的图.

ⅱ）《教师用书21》第89页对《选修21》第98页第9题给出的答案中的“126”应改为“314”.

ⅲ）《教师用书21》第99页对《选修21》第107页第2题给出的答案“68”应改为“217”.

ⅳ）《教师用书21》第105页给出的答案中的“a=（2-1，1）”应改为“a=（2，-1，1）”.5 对《选修22》的又3条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修22·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文简称《选修22》）再给出以下3条修改建议.

ⅰ）第71页“归纳推理”的定义不对.

《选修22》第71页写道：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

笔者认为这段话是不对的：因为归纳包括完全归纳和不完全归纳.

建议把这段话改述为：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，是不完全归纳推理（归纳推理简称归纳，包括完全归纳和不完全归纳）.简言之，不完全归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

ⅱ）建议把第81页正文倒数第三行中的“扮演着重要角色”改为“扮演了重要角色”.

ⅲ）建议把第92页第一段话最后一行中的“不敢肯定”改为“不能肯定”.6 对《选修23》的又6条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修23·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（本文简称《选修23》）再给出以下6条修改建议.

ⅰ）《教师用书23》第10页对《选修23》第12页第4题给出的答案是8，笔者认为应当这样求解：每个开关有闭合、断开两种情形，得28=256种情形，可只考虑最下面的四个开关知，有且仅有7种断开的情形，所以答案为256-7=249.

ⅱ）《教师用书23》第27页对《选修23》第36页第1题第（1）小题解答中的“P”应全部改为“p”.

ⅲ）建议把第31页第3题中的“r”改为“k”.因为在大纲教材中二项式展开式的通项用Tr+1表示，而现行教材《选修23》第30页中的通项用Tk+1表示.

ⅳ）《教师用书23》第30页给出的《选修23》第41页第1（6）题的答案“1或-1”应改为“（-1）n”，题目中最好也应添上条件“（n∈N*）”.

ⅴ）《教师用书23》第32页《Ⅲ 自我检测题》的第一题的第3题、第二题的第4题、第三题的第2（3）题及其参考答案分别是：

题1 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（ ）种.

A.60 B.48 C.36 D.24

参考答案 B.将A，B两人作为一个整体，与C，D，E三人一起进行排列，得到不同的排法A44种.

题2 32+1250的二项展开式中，有理项共有 项.

参考答案 4.32+1250的二项展开式的通项是Tk+1=Ck50（3x）50-k（x）-k=Ck50x100-5k6，在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50时，100-5k6取正整数，即有理项有9项.

题3 现有6本书，如果平均分成三个组，求分法种数.

参考答案 C36×C23÷A33=10（种）.

笔者对参考答案的分析

对于题1，答案显然是D（原书是印刷错误）.

对于题2，答案应改为：

9.32+1250的二项展开式的通项是

Tk+1=Ck50（32）50-k（2）-k=Ck502100-5k6.

在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50时，100-5k6取正整数，即有理项有9项.

对于题3，原解法显然是错误的.这是典型的平均分组问题，答案为C26C24C22A33=15（种）.

ⅵ）对第53页例2解法的商榷.

《选修23》第52页介绍了下面两个条件概率公式：

①若A，B为两个事件，且P（A）>；0，则P（BA）=P（AB）P（A）；

②若B和C是两个互斥事件，则P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）.

《选修23》第53页的例2及其解法是：

例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.

解 设“第i次按对密码”为事件Ai（i=1，2），则A=A1∪（A1A2）表示“不超过2次就按对密码”.

（1）因为事件A1与A1A2互斥，由概率的加法公式得

P（A）=P（A1）+P（A1A2）=110+9×110×9=15.

（2）设“最后一位按偶数”为事件B，则

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=15+4×15×4=25.

显然，第（2）问是条件概率，以上求解中先用的是条件概率公式②，但接下来求两个条件概率P（A1B），P（A1A2B）时并没有用条件概率公式①，而是直接按古典概型的计算公式来求解的.

接下来，若按条件概率公式①，得

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=P（A1B）P（B）+P（A1A2B）P（B）请注意，该式中的两个“P（B）”的含义是不一样的：前者表示“第一次按数字时按的是偶数”，所以P（B）=510=12；后者表示“第一次、第二次按数字时按的均是偶数”，所以P（B）=5×410×9=29.所以原解法应予以纠正（不能使用条件概率公式②求解）.

可这样用条件概率公式①来求解第（2）问：

设“第i次按对密码”为事件Ai（i=1，2），“第一次按数字时按的是偶数”为事件B，“第一次、第二次按数字时按的均是偶数”为事件C，则所求概率为

P（A1B）+P（A1A2C）=P（A1B）P（B）+P（A1A2C）P（C）=110510+4×110×95×410×9=15+4×15×4=25。7 对《选修41》的又1条修改建议

对普通高中课程标准实验教科书《数学·选修41·A版·几何证明选讲》（人民教育出版社，2007年第2版）（本文简称《选修41》）再给出以下1条修改建议.

在第22页的习题1.4中，“（第2题）”的图形应删去，“（第3题）”的图即“（第2题）”的图.