马尔可夫调制的碳排放期权价格随机模型研究

刘德志+张伟

摘 要：利用几何布朗运动和随机微分方程理论，确立了马尔可夫调制的碳排放期权价格随机模型，同时给出了风险中性模型。在此基础上，得到测量方程和模型的离散形式，最后再利用卡尔曼滤波最大似然递推算法得到相应的参数估计。

关键词：马尔可夫调制 碳排放 期权 随机

中图分类号：F740.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

随着经济的发展，大量二氧化碳的排放引起了国际社会的高度关注，减少二氧化碳的排放成为各国面临极大的挑战，其中碳排放交易机制是《京都议定书》规定的有效实现全球减排的三种灵活机制之一， 碳排放交易机制的建立对于减少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均减排成本，传导减排政策发挥着重要作用。在2009年哥本哈根会议召开之前，我国作为负责任的大国，首次明确提出了碳减排目标，为了在2020年之前实现这些目标，我国必须加快推进碳排放交易机制的建立。

由于碳排放期权价格的重要性，因此引起了许多专家学者的关注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分别指出碳排放交易市场已经在全球范围内建立，以及交易市场对国际市场的现金流产生了很大的影响。Dixit，et al和Trigeorgis给出了相应的理论分析和数值算例，在此基础上，Insley给出了基于几何布朗运动的随机模型，奠定了随机模型基础。马尔可夫调制作为一个非常重要的研究课题，被广泛的应用于经济、工业、工程等状态突变的模型中，由此解决了随机模型受到国际政策、战争等突变因素的难题。基于上述成果，该文立足于马尔可夫调制的随机模型，由此来研究碳排放期权价格的确立方法。

1 随机模型

设是具有自然流的完备概率空间，令是定义在此概率空间上的布郎运动。

令为一右连续的马氏链，取值于有限空间。生成元为 ：

其中若表示从状态转到状态的概率。

假设与布朗运动是相互独立的。易知的每一个样本轨道是右连续的阶梯函数，且在的任何一个有限区间上至多含有有限多个跳跃点。

设碳排放的价格是一个非平稳的随机过程，且被约束为一个几何布朗运动，考虑如下的随机微分系统：

（1）

其中表示时刻排放一吨的价格，表示漂移率，表示波动率，，且。由于碳排放价格为几何布朗运动，将进一步转化为，和应用引理得到

（2）

且方程（2）的风险中性形式为

（3）

其中代表风险溢价，。

2 主要方法和结论

设期权价格为，即未来排放一吨的价格，使得期货合约的当前值等于零，是在风险中性情况下的现货价格。进一步利用对数正态分布的性质，得到

（4）

对上式两边同时去对数得

（5）

下面进一步利用卡尔曼滤波最大似然递推算法去估计上式中的参数。因为可以看到期货报价，利用（4）式可以得到测量方程，因此不可观测的现货价格就是状态变量，利用Harvey的理论，得到的测量方程为

（6）

其中是一个的矩阵，表示每天可以使用的期货价格的个数，和表示状态变量的个数，则有；是一个的矩阵，形式如下

（7）

其中是最接近期货合约到期的时间。由于剩余时间每一天都发生变化直到期货合约到期为止，因此在向量随着时间变化的情况下，上式就是一个卡尔曼滤波的形式；是一系列非相关的误差矩阵，且设均值为0，协方差矩阵为即：

（8）

选取，其中表示单位矩阵，表示马氏链取值状态。

验证测量方程为卡尔曼滤波形式后，为使用递推算法，必须将（2）式离散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理论，得到

（10）

其中。因此，再利用相关数据和最大似然递推算法就可以估计出来的值。

3 结语

在这篇文章中，我们利用随机微分方程和几何布朗运动理论建立了碳排放期权价格的随机模型，并分析了此模型的风险中性和离散形式。在此基础上，验证了卡尔曼滤波的条件，从而应用卡尔曼滤波最大似然递推算法对随机模型的参数进行估计。由于该文在随机模型中添加了马儿可夫链，使得此模型系统对现实突变（状态跳跃）有更好的效果。此理论部分的建立，为后续此系统的实证部分奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint

摘 要：利用几何布朗运动和随机微分方程理论，确立了马尔可夫调制的碳排放期权价格随机模型，同时给出了风险中性模型。在此基础上，得到测量方程和模型的离散形式，最后再利用卡尔曼滤波最大似然递推算法得到相应的参数估计。

关键词：马尔可夫调制 碳排放 期权 随机

中图分类号：F740.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

随着经济的发展，大量二氧化碳的排放引起了国际社会的高度关注，减少二氧化碳的排放成为各国面临极大的挑战，其中碳排放交易机制是《京都议定书》规定的有效实现全球减排的三种灵活机制之一， 碳排放交易机制的建立对于减少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均减排成本，传导减排政策发挥着重要作用。在2009年哥本哈根会议召开之前，我国作为负责任的大国，首次明确提出了碳减排目标，为了在2020年之前实现这些目标，我国必须加快推进碳排放交易机制的建立。

由于碳排放期权价格的重要性，因此引起了许多专家学者的关注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分别指出碳排放交易市场已经在全球范围内建立，以及交易市场对国际市场的现金流产生了很大的影响。Dixit，et al和Trigeorgis给出了相应的理论分析和数值算例，在此基础上，Insley给出了基于几何布朗运动的随机模型，奠定了随机模型基础。马尔可夫调制作为一个非常重要的研究课题，被广泛的应用于经济、工业、工程等状态突变的模型中，由此解决了随机模型受到国际政策、战争等突变因素的难题。基于上述成果，该文立足于马尔可夫调制的随机模型，由此来研究碳排放期权价格的确立方法。

1 随机模型

设是具有自然流的完备概率空间，令是定义在此概率空间上的布郎运动。

令为一右连续的马氏链，取值于有限空间。生成元为 ：

其中若表示从状态转到状态的概率。

假设与布朗运动是相互独立的。易知的每一个样本轨道是右连续的阶梯函数，且在的任何一个有限区间上至多含有有限多个跳跃点。

设碳排放的价格是一个非平稳的随机过程，且被约束为一个几何布朗运动，考虑如下的随机微分系统：

（1）

其中表示时刻排放一吨的价格，表示漂移率，表示波动率，，且。由于碳排放价格为几何布朗运动，将进一步转化为，和应用引理得到

（2）

且方程（2）的风险中性形式为

（3）

其中代表风险溢价，。

2 主要方法和结论

设期权价格为，即未来排放一吨的价格，使得期货合约的当前值等于零，是在风险中性情况下的现货价格。进一步利用对数正态分布的性质，得到

（4）

对上式两边同时去对数得

（5）

下面进一步利用卡尔曼滤波最大似然递推算法去估计上式中的参数。因为可以看到期货报价，利用（4）式可以得到测量方程，因此不可观测的现货价格就是状态变量，利用Harvey的理论，得到的测量方程为

（6）

其中是一个的矩阵，表示每天可以使用的期货价格的个数，和表示状态变量的个数，则有；是一个的矩阵，形式如下

（7）

其中是最接近期货合约到期的时间。由于剩余时间每一天都发生变化直到期货合约到期为止，因此在向量随着时间变化的情况下，上式就是一个卡尔曼滤波的形式；是一系列非相关的误差矩阵，且设均值为0，协方差矩阵为即：

（8）

选取，其中表示单位矩阵，表示马氏链取值状态。

验证测量方程为卡尔曼滤波形式后，为使用递推算法，必须将（2）式离散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理论，得到

（10）

其中。因此，再利用相关数据和最大似然递推算法就可以估计出来的值。

3 结语

在这篇文章中，我们利用随机微分方程和几何布朗运动理论建立了碳排放期权价格的随机模型，并分析了此模型的风险中性和离散形式。在此基础上，验证了卡尔曼滤波的条件，从而应用卡尔曼滤波最大似然递推算法对随机模型的参数进行估计。由于该文在随机模型中添加了马儿可夫链，使得此模型系统对现实突变（状态跳跃）有更好的效果。此理论部分的建立，为后续此系统的实证部分奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint

摘 要：利用几何布朗运动和随机微分方程理论，确立了马尔可夫调制的碳排放期权价格随机模型，同时给出了风险中性模型。在此基础上，得到测量方程和模型的离散形式，最后再利用卡尔曼滤波最大似然递推算法得到相应的参数估计。

关键词：马尔可夫调制 碳排放 期权 随机

中图分类号：F740.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

随着经济的发展，大量二氧化碳的排放引起了国际社会的高度关注，减少二氧化碳的排放成为各国面临极大的挑战，其中碳排放交易机制是《京都议定书》规定的有效实现全球减排的三种灵活机制之一， 碳排放交易机制的建立对于减少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均减排成本，传导减排政策发挥着重要作用。在2009年哥本哈根会议召开之前，我国作为负责任的大国，首次明确提出了碳减排目标，为了在2020年之前实现这些目标，我国必须加快推进碳排放交易机制的建立。

由于碳排放期权价格的重要性，因此引起了许多专家学者的关注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分别指出碳排放交易市场已经在全球范围内建立，以及交易市场对国际市场的现金流产生了很大的影响。Dixit，et al和Trigeorgis给出了相应的理论分析和数值算例，在此基础上，Insley给出了基于几何布朗运动的随机模型，奠定了随机模型基础。马尔可夫调制作为一个非常重要的研究课题，被广泛的应用于经济、工业、工程等状态突变的模型中，由此解决了随机模型受到国际政策、战争等突变因素的难题。基于上述成果，该文立足于马尔可夫调制的随机模型，由此来研究碳排放期权价格的确立方法。

1 随机模型

设是具有自然流的完备概率空间，令是定义在此概率空间上的布郎运动。

令为一右连续的马氏链，取值于有限空间。生成元为 ：

其中若表示从状态转到状态的概率。

假设与布朗运动是相互独立的。易知的每一个样本轨道是右连续的阶梯函数，且在的任何一个有限区间上至多含有有限多个跳跃点。

设碳排放的价格是一个非平稳的随机过程，且被约束为一个几何布朗运动，考虑如下的随机微分系统：

（1）

其中表示时刻排放一吨的价格，表示漂移率，表示波动率，，且。由于碳排放价格为几何布朗运动，将进一步转化为，和应用引理得到

（2）

且方程（2）的风险中性形式为

（3）

其中代表风险溢价，。

2 主要方法和结论

设期权价格为，即未来排放一吨的价格，使得期货合约的当前值等于零，是在风险中性情况下的现货价格。进一步利用对数正态分布的性质，得到

（4）

对上式两边同时去对数得

（5）

下面进一步利用卡尔曼滤波最大似然递推算法去估计上式中的参数。因为可以看到期货报价，利用（4）式可以得到测量方程，因此不可观测的现货价格就是状态变量，利用Harvey的理论，得到的测量方程为

（6）

其中是一个的矩阵，表示每天可以使用的期货价格的个数，和表示状态变量的个数，则有；是一个的矩阵，形式如下

（7）

其中是最接近期货合约到期的时间。由于剩余时间每一天都发生变化直到期货合约到期为止，因此在向量随着时间变化的情况下，上式就是一个卡尔曼滤波的形式；是一系列非相关的误差矩阵，且设均值为0，协方差矩阵为即：

（8）

选取，其中表示单位矩阵，表示马氏链取值状态。

验证测量方程为卡尔曼滤波形式后，为使用递推算法，必须将（2）式离散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理论，得到

（10）

其中。因此，再利用相关数据和最大似然递推算法就可以估计出来的值。

3 结语

在这篇文章中，我们利用随机微分方程和几何布朗运动理论建立了碳排放期权价格的随机模型，并分析了此模型的风险中性和离散形式。在此基础上，验证了卡尔曼滤波的条件，从而应用卡尔曼滤波最大似然递推算法对随机模型的参数进行估计。由于该文在随机模型中添加了马儿可夫链，使得此模型系统对现实突变（状态跳跃）有更好的效果。此理论部分的建立，为后续此系统的实证部分奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint