带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性

张 瑜，侯成敏

（延边大学数学系，吉林延吉 133002）

带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性

张 瑜，侯成敏

（延边大学数学系，吉林延吉 133002）

考虑一类带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题.首先，通过变换将分数阶多点边值问题转化为整数阶差分方程多点边值问题；其次，利用方程及其边界条件得到表达式及一些性质；最后，利用单调迭代方法研究变换后的方程，得到原方程非增正解的存在性.

分数阶差分方程；多点边值问题；正解的存在性；单调迭代

0 引言

整数阶差分方程包括带有p-Laplacian算子的整数阶差分方程，已广泛应用于计算机信息控制、工程控制、神经网络等领域中，受到众多学者的关注并得到许多结果[1-7].如苑成军等[3]通过不动点定理研究奇异四阶p-Laplacian差分方程边值正解的存在惟一性；Candito P等[4]利用临界点定理研究带有p-Laplacian算子的两点边值问题正解的存在；Kuang J H[5]和Gao Chenghua分别利用临界点定理研究带有p-Laplacian算子离散边值问题解的存在性.这些研究结果是对整数阶差分方程给出的，而带有p-Laplacian算子的分数阶差分方程的研究成果相对较少，如李宝玲等[8]利用变分法和带有强制条件的临界点定理，研究一类带有p-Laplacian算子的分数阶差分方程边值问题至少有3个解的存在性；Lv Weidong[9]利用不动点定理研究带有p-Laplacian算子的离散分数阶解的存在性；He Yansheng等[10]利用临界点定理研究带有p-Laplacian算子的离散分数阶边值问题解的存在性.利用单调迭代方法研究带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性少见，笔者考虑带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题（简称FBVP），即

通过变换y（t）=Δυ-1υ-2x（t）把原问题转化为整数阶差分方程边值问题，利用单调迭代方法证明转化后的方程存在2个非增正解，从而得到原方程存在2个非增正解.

1 预备知识

2 主要结果

由Arzela-Ascoli定理可知QΩ是相对紧的，即Q是紧的.

最后，证明在[υ-1，T+υ-1]Nυ-1火R上，若f（s+υ-1，·）关于第二个变量是非减的，对任意yi∈P（i =1，2）且y1＞y2.设Ayi（i=1，2）关于yi（i=1，2）是满足式（9）的2个常数，由引理2.3得Ay1≤Ay2.在通过Qy的定义，易证Qy1＞Qy2.证毕.

3 解的存在性

4 结束语

单调迭代方法是研究整数阶差分方程边值问题及分数阶微分方程边值问题的有效方法之一，在研究分数阶差分方程边值问题中还没有被应用.文中首次采用单调迭代方法研究一类带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性，因此结果具有一定创新意义.

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[2] Holm M T.The theory of Discrete fractional calculus：Development and application[D].Lincoln：University of Nebraska，2011：5-32.

[3] 苑成军，文香丹，孟庆元.奇异四阶p-Lapacian差分方程边值正解的存在惟一性[J].东北师大学报：自然科学版，2010，42（1）：5-9.

Yuan Chengiun，Wen Xiangdan，Meng Qinyuan.Existence and uniqueness of positive solutions of difference equation boundary value with singular four order p-Lapacian[J].Journal of Northeast Normal University：Natural Science Edition，2010，42（1）：5-9

[4] Candito P，Giovannelli N.Multiple solutions for adiscrete boundary value problem involving the p-Laplacian[J].Comput Math Appl， 2008（56）：959-964.

[5] Kuang J H.Existence of homoclinic solutions for higher-order periodic difference equations with p-Laplacian[J].J.Math.Anal.Appl，2014（417）：904-917.

[6] Gao Chenghua.Solutions to discrete multiparameter periodic boundary value problems involving the p-Laplacian via critical point theory[J].Acta Mathematica Scientia：English Series，2014，34（4）：1225-1236.

[7] Parka J H，Chung S Y.Positive solutions for discrete boundary value problems involving the p-Laplacian with potential terms[J]. Comput Math Appl，2011（61）：17-29.

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[9] Lv Weidong.Existence of solutions for discrete fractional boundary value problems with a p-Laplacian operator[J].Advances in Difference Equations，2012，163：1-10.

[10] He Yansheng，Chengmin Hou.Existence of solutions for discrete fractional boundary value problems with p-Laplacian operator[J]. Journal of Mathematical Research with Applications，2014，34（2）：197-208.

O175.7

A

2095-4107（2014）06-0116-11

DOI 10.3969/i.issn.2095-4107.2014.06.015

2014-10-09；编辑：关开澄

国家自然科学基金项目（11161049）

张 瑜（1989-），女，硕士研究生，主要从事微分方程理论及其应用方面的研究.

侯成敏，E-mail：cmhou@foxmail.com