支护结构前反压土计算方法回顾及一种新的简化分析方法

颜 敬，方晓敏

（1. 上海市政工程设计研究总院(集团)有限公司，上海 200433；2. 浙江省义乌市城市规划设计研究院，浙江 义乌 322000）

1 引 言

支护结构前预留土台、回填土方、堆砌砂包等施加反压的方法是基坑施工或使用过程中处理支护结构变形过大或破坏失稳时常用的应对策略[1－2]，基坑盆式或中心岛式开挖与逆作法施工中也往往在围护结构内侧预留土堤以增强或替代坑底支撑体系，进而达到控制或减小支护结构位移与内力、缩短支护结构嵌固深度、降低工程造价的目的[3－4]。鉴于预留反压土具有良好的环境、经济效益，其在工程中的应用日趋广泛，但迄今各类有关基坑支护的国家、行业、地方规范规程中均未涉及预留反压土的设计、计算问题，且界业内对此问题的研究不多，而且观点不统一，故而整理、分析以往坑内反压土体的计算方法，揭示问题的本质，对于反压土台的设计与工程应用将产生重要的参考意义。本文尝试进行此方面的工作，并基于支护结构常用的竖向弹性地基梁理论提出一种新的简化分析方法。

2 反压土计算方法的回顾与评述

经过文献调查并结合笔者的基坑设计实践，考虑支护结构前预留反压土（见图 1）的分析计算方法大致可以分为4类：①支护结构前附加荷载法；②Boussinesq附加应力近似法；③改进的弹性地基梁法；④整体有限元协同分析法。下文分别加以分析与评述。

图1 反压土增强支护结构示意Fig.1 Enhancement effect of earth berm in retaining structure

2.1 支护结构前附加荷载法

金亚兵等[1]认为，坑内反压土的作用主要有 2点：一是产生水平荷载直接抵制支护结构前移；二是土台自重相当于坑底超载，相当于加大了支护结构前被动区土体上覆土重，从而增加被动土压力以间接控制支护结构埋入段侧向挠曲变形（见图2），反压土分析的关键就是确定这2个分布荷载的大小和形状。

图2 附加荷载的形状与大小Fig.2 Shape and size of additional load

对于图2(a)中的水平荷载e，金亚兵等[1]将土台视为刚体，并假设其可沿坑底发生水平移动，以反压土层微元为研究对象（见图3），设γ、φ分别为土的重度与内摩擦角，梯形土台上宽、下宽及高度分别为Bt、Bb及h，离土台表面z深度处的垂直压力为N，则微元自重可表示为

图3 土层微元受力分析Fig.3 Force analysis of micro-element of soil

又依库仑定律，导出微元上下剪切力等于法向压力与tanφ的乘积，再由微元水平向平衡方程：

得到梯形荷载：

马忠政等[2]则认为，坑底以上土台竖向各点与支护结构侧向变形相等，将土台视为刚性挡土构件，并假设支护结构与土台固定端分别位于0.5倍嵌深与基坑底部（见图4），求出两者各点的的抗侧刚度，再将主动侧土压 p(z)引起各截面剪切力按照刚度进行分配，进而计算出土台各深度处剪力：

式中：Ks(z)、Kz(z)分别为深度z处土台、支护结构的抗侧向位移刚度，按照悬臂构件在z处作用单位水平力的弯矩图进行图乘得侧向位移，取倒数获得（参见结构力学单位力法）。

图4 刚度分配法计算简图Fig.4 Calculated diagram of stiffness distribution method

根据剪力与分布荷载的微积分关系得到e的解析式：

文献[2]这个方法仅适用于悬臂支护的情况。对于图2(c)中的分布荷载q0学术界少有异议，即取上覆土柱自重。

上面的推导过程中均假设土台刚性才导出其侧向土压力的大小和分布，实际上土体是具有黏、弹、塑及流变特征的柔性孔隙体，且土台所提供的土压力与其发生的位移密切相关，通过附加荷载的方式来考虑反压土台作用与土的实际性状存在差距，且文献[2]的固定端假设缺乏有力依据。但当采用一些工程措施后，例如对土台降水疏干以增强其连续性，降低塑性，或者注浆加固使其倾向重力式结构（如长大基坑裙边水泥土加固）等，文中的推导用到的假定条件将会近似满足，通过附加荷载来考虑反压土台效应仍有其合理性。

2.2 Boussinesq附加应力近似求解法

李顺群等[4]更加强调反压土台的嵌固效应，认为其存在2个方面的作用：①土台本身的自重扩散到坑底被动区土中，形成竖向附加应力以增加土体的竖向总应力，从而提高了被动土压力以抵抗埋入段支护结构侧向变形；②反压土自身高度范围内可以提供一定的水平抗力，从而对悬臂范围内的支护结构变形起到一定的抑制作用。

为了充分利用条形荷载下Boussinesq附加应力解析解，文献[4]将土台任意深度z处之上的梯形荷载 q(z)按照量值相等的原则等效为矩形荷载q′(z)（见图5），再依据半无限空间上作用均布条形荷载的Boussinesq解答，可得出P点水平应力σx、竖向应力σz，其中σx即为土台抵抗支护结构悬臂段侧向变形的水平抗力。考虑到反压土台尺寸有限，左侧存在临空区，q′(z)之下并非半无限体，故而需要对σx进行折减。

图5 Boussinesq附加应力法近似求解Fig.5 Subsidiary stress of Boussinesq approximation

根据朗肯土压力理论，被动侧土体水平抗力与(45°-0.5φ)滑移线上的土体相关（见图6），从P点处向上引(45°-0.5φ)滑移线，发现楔形 BPH 缺失AGH区域内的土体，故认为P点水平抗力σx并没有完全发挥，实际发挥的大小为

式中：ABPG、BPH、AGH围成的面积分别用SABPG、SBPH、SAGH表示，折减系数α为被动滑移线上实际土体区域面积与整个楔形面积的比值，它沿深度变化，当P点在BC之间移动时，α=1；当 P点在CD之间移动时，α＜1。再考虑到土台大小、土体流变、施工降水等影响引入松弛系数β，最终得到土台范围任意深度z处对支护结构的水平抗力为

图6 反压土作用分析模型Fig.6 Analysis model of earth berm’s effect

对于反压土台引起坑底被动土压的增加，则采用类似做法，将土台梯形荷载q(h)等效为矩形荷载q′(h)作用于坑底（见图6），依据 Boussinesq解答求出DJ范围内各点的竖向附加应力σz，此时满足半无限空间条件，再记 DJ范围内各点的自重应力为σcz，则坑底被动土压力为

由此，模拟出反压土对支护结构侧向变形的全部抵抗作用。

笔者认为，该法尚存在以下问题：①梯形荷载等效为矩形荷载存在误差，特别是土台坡度较小的情况；②Boussinesq解答是在弹性均质半无限空间假设下推导而来，即便忽略土层的非均质性，由于支护结构与土体刚度相差悬殊，它的存在将使得土体形成的半无限“柔”性空间存在一个“刚”域，影响到上面荷载的扩散，附加应力分布规律将发生变化，Boussinesq解答是否还能近似成立以及其成立的条件还需要进一步的证明与研究；③土台所能提供的土压力应与支护结构悬臂段的位移大小相关，而该法中的土台土压力仅依赖于Boussinesq解答，并且也不能反映土体与支护结构的相互作用；④土台水平抗力之所以需要折减，从表观上看更可能是由于左侧临空区的存在，而该法将其与(45°-0.5φ)朗肯被动滑移线发生关系，两者一个在水平向，一个在斜向，在物理上仍需进一步解释。

2.3 改进的弹性地基梁法

上面的2种方法由于无法反映土体与支护结构的相互作用，只能在支护结构背后（即主动侧）荷载分布已知的条件下，通过在支护结构前（即被动侧）附加计算出来的水平抗力进行抗倾覆、抗滑移稳定性验算与支护结构嵌固深度计算[1,4]，却无法对支护结构的内力、变形进行详细分析，利用单向受压弹簧来模拟土体与支护结构相互作用的弹性地基梁法，则较好地解决了这个问题。郑刚等[5]提出将反压土台用一系列的土层弹簧来模拟（见图7），问题的关键转化为：①确定土台反压弹簧的水平刚度系数；②反压土台自重对坑底弹簧刚度的补强作用。

图7 改进弹性地基梁法的计算原理Fig.7 Calculation principle of improved elastic foundation beam method

Clough等[5]的研究得出反压土对支护结构位移与内力的削弱作用和多边形ADJF与朗肯被动楔形ADH的面积比相关，郑刚等[6]据此假设土台的影响范围为AD（D点位置由过土台坡脚J做朗肯被动破坏线交支护结构线获得），并引入一个随深度变化的形状系数α(z)对m法的弹簧刚度进行折减，α(z)为朗肯(45°-0.5φ)滑移线上有效土体面积与完全被动土楔形面积的比值，如C点：

记地基水平基床刚度系数随深度变化的比例系数为m，最终得到被动土弹簧刚度k分布如下：

式中：β为考虑到土台尺寸、土体流变、施工降水等影响引入松弛系数，k变化曲线如图7(c)所示，D点存在一个刚度突变，原因是反压土台作为一项坑底超载对CD区域内的土层弹簧刚度具有一定的加强作用，过了D点又恢复到正常的m法直线上。

笔者认为，该法尚存在以下问题：①诚然，反压弹簧刚度和被动破坏线上有效土体面积占完全被动土楔面积的比例相关，但二者是否存在如该法所述的量化关系，仍需进一步验证，毕竟土层弹簧的作用方向为水平向，被动极限滑移面为(45°-0.5φ)方向；另一方面，发生朗肯被动破坏时土中的极限被动土压自上而下要求呈现线性分布且逐渐增大，而弹性地基梁法计算出来的地层反力往往从上至下逐渐变小，呈现非线性特征，朗肯土压力理论能否继续应用于被动弹簧存疑；②结合式（10）可以发现，同侧地层中该法土层刚度系数存在2个起算点：不妨先忽略系数α、β的影响，在土台范围AC内k沿深度z(0≤z≤zC)线性增加，在坑底范围CE内k也沿z(zC≤z≤zE)线性增加，线性比例为同一m值，只不过CD范围内附加了一项由土台超载带来的刚度增加值。出现2个弹簧刚度起算点较难解释。

2.4 整体有限元协同分析法

随着计算机科学飞速发展，大规模有限元计算逐步得到实现，将反压土台、周围地层、支护结构建立在同一有限元模型中进行分析已不是难事，陈福全等[7]利用荷兰土工软件Plaxis2D对基坑内预留反压土台对基坑性状的影响开展了全面的分析，分别讨论了土台宽度与高度、土层抗剪强度、支护结构刚度对反压效应的影响，取得可信的成果；包旭范等[3]对某软土基坑中心岛工法施工中土台预留宽度开展了离心机试验，并与有限元数值模型结果相比较，得到该工程最优土台宽度并用于工程实践；国外Georgiadis等[8]与Powrie等[9]也开展过类似的研究。

笔者认为，有限元固然是一种先进的计算方法，但其计算的结果取决于初始输入信息，存在的难点众多：①土的本构模型与计算参数的选取；②支护单元与土单元相互作用模式的选择与参数的确定；③数值算法与计算收敛精度的选取等，故而短期内有限元协同计算法还难以取代经典的竖向弹性地基梁理论。

3 方法小结与反压土作用机制归纳

根据上文的分析，归纳各种反压土的分析方法特点见表1。实际上，表中方法1、2相当于某种静态极限分析；反压土的水平抗力不随支护结构的位移发生变化，而方法3、4相当于支护结构动态使用分析，反压土的水平抗力将随支护结构的位移发生变化。关于各种方法的原理、缺陷、疑点及某些使用条件已在2节中详细论述，通过整理、分析各种方法，可初步得出支护结构前反压土作用机制主要体现在2个方面：

（1）坑上，土台高度范围内，反压土提供一个水平抗力，不管是以附加荷载的形式（方法1）、附加水平应力的形式（方法2），还是水平弹簧反力的形式（方法3），都能体现这一点，这个水平的分布抗力可以对坑上悬臂段支护结构的变形、内力起到抑制作用；

（2）坑下，受土台压重的影响，被动区水平抗力亦有所增加，不管是以增加被动土压力的形式（方法1、2），还是以提高被动受压弹簧刚度的形式（方法3），都能体现这一点，这个水平的分布抗力可以对坑下埋入支护结构的变形、内力起到抑制作用。

表1 各种分析方法的特点Table 1 Characteristics of different analytical methods

4 一种新的简化分析方法

4.1 分析方法

鉴于竖向弹性地基梁 m法在工程中的广泛适用，现仍基于该法，利用被动受压弹簧来模拟反压土台与支护结构之间的相互作用，受压弹簧可根据支护结构的位移模式和大小提供相应的水平抗力，此处的关键仍然是确定土层弹簧刚度。

在基坑土方开挖前，离支护结构越远的位置坑内土体变形越小，可将该位置视为一个不动边界（见图8），即在此边界外开挖土体不会影响到支护结构的变形；反之，在该不动边界范围内开挖土体将减弱左侧土层弹簧的刚度，使得支护结构变形加大。这种现象表明，基坑开挖的影响区域是有限的，设影响域宽为λH（λ一般取3～5）。土层弹簧实际上模拟的是一定带宽的水平土层对支护结构变形的阻碍作用，决定其刚度大小的因素主要有 2点：①深度越大，覆土越厚，土质越硬越密，刚度越高；②水平向延伸越远，排列的土粒越多越密，刚度越大。据此可知，反压土台任意深度z(0＜z＜h)处G点的刚度与深度AG和有效宽度GH同时有关，可取G点土弹簧刚度系数为

式中：k0为按照常规m法计算的弹簧刚度，随深度增加。实际上，土台顶面标高层的土体在基坑开挖后变成超固结土，虽然发生应力释放，但仍然具有一定的残余刚度，记为初始刚度C0，故而以反压土台顶点A为起算点，按照常规m法计算k0为

图8 新方法的分析模型Fig.8 Analysis model of new method

m可由地区经验依照岩土抗剪强度指标反算或直接取自地质报告。将式（12）代入式（11），并引入反映反压土台实际工作性状的系数β后，得出土台面以下任意深度z(0＜z＜h)处的弹簧刚度：

若开挖对原土影响甚微，β=1；土台流变或发生应力松弛0＜β＜1；土台进行了加固处理（护坡、疏水、注浆等）β＞1。坑底以下的弹簧刚度仍按照式（12）计算。

若取 h=2 m，H =4h，Hd=3h，Bt=h，Bb=2h，λ=3，C0=0，β=1，m=5 000 kN/m4，计算土层刚度分布曲线见图 9，弹簧刚度在反压土台底部发生突变，当土台几何尺寸增大时，k随之增大；当土台宽度无限逼近λH时，式（13）中k趋近于k0，即回到常规m法计算的k0曲线上，此时认为基坑开挖深度为(H-h)。

图9 土层弹簧刚度分布Fig.9 Distribution of soil spring stiffness

上述土台范围内的反压弹簧已描叙坑上反压土的水平抵抗作用，坑下由土台压重带来的抗侧移作用以超载的形式实现，可利用大面积均布超载诱发的被动土压力的解，具体施加原理与方法见图10，图 10(b)的模式各个规范有所不同[10]，可灵活选用（此处选择《建筑基坑支护技术规程》模式），Kp为朗肯被动土压力系数，γ为土重度，q0=γh。

图10 土台压重效应的模拟Fig.10 Simulating effect of gravity of earth berm

4.2 算例分析

根据4.1节提出的新简化分析方法，计算分析一个基坑工程案例（见图 11），主动侧土压力分布模式按照《建筑基坑支护技术规程》[11]的规定，计算参数：c=10 kPa，φ=10°，C0=0，m=5 000 kN/m4，γ=19 kN/m3，λ=3，支护结构底部约束条件参照上海基坑设计规范[12]使用竖向支撑弹簧kv=80 000 kN/m2，计算的力学模型见图12。

按照不设土台（相当于β=0）、设置土台（β=1）、土台加固（β=2）进行对比计算，墙身内力变形及弹簧反力的计算结果如图13～15，3种情况的墙身内力位移极值比较见表2、3。

图14 围护墙身水平位移Fig.14 Horizontal displacement of retaining wall

图15 土层弹簧反力分布Fig.15 Distribution of reaction force in soil springs

表2 3种情况的墙身内力位移计算结果Table 2 Results of internal force and displacement of retaining wall in three cases

表3 3种情况的墙身内力位移比较Table 3 Comparison of internal forces and displacements of retaining wall in three cases

根据上面的计算结果，可以得出以下认识：

（1）合理设置反压土可以有效减小支护结构的内力与变形，特别是对支护结构水平位移的限制（如设置土台与不设土台相比，极限位移下降1/3）。

（2）反压土虽然体积小，提供的水平抗力有限，但一方面其离支护结构顶端较近，可以对支护结构悬臂段的平面转动直接起到阻碍作用，从而减小支护结构顶端位移；另一方面其离支护结构底端较远，故以底端为矩心将产生较大的力矩，这对支护结构的倾覆稳定性有利。

（3）基坑开挖时，尽量减少对反压土台的扰动，使其保持天然结构，做到及时降水，适当护坡，必要时可进行注浆加固等，使土台β增大，可以取得更好的支护效果（如加固土台与不设土台相比，极限位移下降1/2），此时可以酌情减小土台的规模。

（4）设置土台与不设土台相比，坑底以下被动区土层弹簧反力将减小，这对于防止被动区土压力超过极限被动土压力，发生被动破坏是有利的。

（5）土质条件将影响反压效果，当土质较好时，m、C0较大，反压效果显著，此时可以考虑设置尺寸较小的土台；反之宜加大土台尺寸或采取提高土台强度的施工措施，同时应确保土台自身的稳定性。

（6）土台宽、高的增加必然有利于减小支护结构的内力与位移，但鉴于位移变化更加敏感，且对周边环境的影响较大，建议设计反压土时以位移作为依据，并要保证土台自身的滑坡稳定性。

5 结 语

支护结构前设置反压土台将有效减小支护结构的内力、变形与嵌固深度，不仅缩短工期，还可节约成本，取得良好的经济、环境效益。反压土台还可以在基坑开挖过程中全程保留或者随着结构底板等永久性工程或支撑体系的施工进度分阶段移去，设置灵活，其工程应用将日益广泛。

本文整理、分析了当前反压土分析计算的主要方法，并基于工程设计中广泛使用的竖向弹性地基梁法，提出了一种新的简化分析模式，该法概念清晰计算简单，反压效果由多参数联合控制，最后通过典型算例证明了该法的可行性和有效性，并得出相应结论，这些结论具有普适性，希望能对支护工程的设计与施工有所帮助。

但土台被动土压力的真实分布模式以及其随支护结构位移的演化规律还尚不明朗，仍需进一步的理论研究与试验验证，建议开展离心机试验[3]、模型试验[13]，为反压土台的设计与应用推广提供更多的参考。

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