一道高等数学题的多种解法

方 茹， 杨国俅， 王 勇

(哈尔滨工业大学 数学系，哈尔滨 150001)

在高等数学的教学中，创新思维和创新能力的培养至关重要.发散思维是创新思维的主要形式之一，而一题多解是发散思维的具体表现[1-3]. 通过一题多解，使学生从不同角度，不同侧面，不同层次对问题进行深入探究，开阔视野，加深对问题的理解，进而发现问题的本质. 在解题过程中能够培养学生的探索钻研精神，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力. 本文作者给出一道高等数学题的九种解法，并把问题进一步拓展，探究问题的本质.

例已知函数f(x)=ex-ln(x+m). 当m≤2时, 证明f(x)>0.

证1当m≤2,x∈(-m,+∞)时, ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)=ex-ln(x+2)>0.

综上，当m≤2时,f(x)>0.

当m≤0,t≥0,t+m>0时，

当0≤m≤2时，

综上，当m≤2时,f(x)>0.

上面两种证明方法都是通过证明f(x)的最小值大于0，进而证得f(x)>0.

证3令x+m=t, 则f(x)=et-m-lnt，t∈(0,+∞).当m≤2,f(x)≥et-2-lnt.

进而，当m≤2时,f(x)>0.

证4由于f(x)=ex-ln(x+m)>0等价于e-m>e-(x+m)ln(x+m). 令t=x+m, 则等价于e-m>e-tlnt. 令g(t)=e-tlnt,t∈(0,+∞), 当m≤2时, 只需证g(t)=e-tlnt的最大值小于e-2即可.

当t∈(0,1)时,g(t)=e-tlnt<0

综上所述，当m≤2时,f(x)>0.

证5由于f(x)=ex-ln(x+m)>0等价于eex>x+m. 当x+m>0时，等价于eex-x>m. 考查函数g(x)=eex-x,x∈(-∞,+∞).由g′(x)=exeex-1，可知g′(x)在(-∞,+∞)上单调递增且∃x0使得g′(x0)=0.

当x∈(-∞,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;

当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.

由于g′(x0)=ex0eex0-1=0,x0≠0, 得-x0=ex0.故g(x)的最小值为g(x0)=e-x0+ex0>2≥m. 从而，当m≤2时,f(x)>0.

证6欲证：当m≤2时,f(x)=ex-ln(x+m)>0, 我们先证

ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m).

令g(x)=ex-x-1,h(x)=x+1-ln(x+2), 则g′(x)=ex-1.g′(x)=ex-1=0当且仅当x=0.

当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,g(x)单调下降;

当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调上升;

从而g(x)=ex-x-1≥g(0)=0, ex≥x+1且等号成立当且仅当x=0.

当x∈(-2,-1)时,h′(x)<0,h(x)单调下降;

当x∈(-1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调上升;

从而h(x)≥h(-1)=0,x+1≥ln(x+2)且等号成立当且仅当x=-1.

因此当m≤2,x∈(-m,+∞)时, ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m)且等号不能同时成立, 所以，当m≤2时,f(x)>0.

证7欲证：当m≤2时,f(x)=ex-ln(x+m)>0, 我们先证ex≥x+1≥ln(x+m)不等式ex≥x+1成立的证明同证法6，下面证明x+1≥ln(x+m).

当x∈(-m,1-m)时,h′(x)<0,h(x)单调下降;

当x∈(1-m,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调上升;

从而h(x)≥h(1-m)=2-m≥0,x+1≥ln(x+m)且等号成立当且仅当x=-1.因此当m≤2,x∈(-m,+∞)时, ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m)且等号成立时有x=0且x=-1, 所以当m≤2时,f(x)>0.

当x∈(-∞,-ln2)时,g′(x)<0,g(x)单调下降;

当x∈(-ln2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调上升;

从而

当x∈(-2,0)时,h′(x)<0,h(x)单调下降;

当x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调上升;

方法6至8是下面一般化方法的特例.

令g(x)=ex-ax-b,h(x)=ax+b-ln(x+2). 则g′(x)=ex-a,g′(x)=ex-a=0当且仅当x=lna.

当x∈(-∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调下降;

当x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调上升;

从而

g(x)=ex-ax-b≥g(lna)=a-alna-b≥0, ex≥ax+b.

且等号不同时成立, 所以f(x)>0.

若令a=1, 则2a-lna-1=1≤b≤a-alna=1,即b=1, 从而当m≤2时，

ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m),

且等号不同时成立. 所以f(x)>0.

ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m)，

所以f(x)>0.

从以上九种解法可以看出，证法1,2,3是思路常规的证法，比较容易想到；证法4,5利用等价变换法，等价不等式的选取具有灵活性，本方法可挖掘问题的本质；证法6-8是构造不等式法，不等式的构造有难度；证法9是对证法6-8的方法总结，并升华成一类方法.

通过探讨高等数学中常见的一题多解，分析了各种求解方法之间的差别与联系，可以引导学生从不同角度主动思考问题，寻找各种解题途径，变定向思维为多向思维，挖掘其内在联系，从而培养学生的发散思维能力.

[参 考 文 献]

[1] 潘杰，苏化明.一道考研数学试题的多种解法[J].高等数学研究，2009，12(2)：62-64.

[2] 张宗达. 工科数学分析(上册)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[3] 吴良森. 数学分析学习指导书(下册)[M]. 北京：高等教育出版社，2004.