几类含5次强非线性项数理方程的尖峰孤子解

刘煜，张倩茜，吕卫东

(1.河南省电力公司电力科学研究院，河南郑州450052;2.河南科技大学电子信息工程学院，河南洛阳471023)

几类含5次强非线性项数理方程的尖峰孤子解

刘煜1，张倩茜2，吕卫东2

(1.河南省电力公司电力科学研究院，河南郑州450052;2.河南科技大学电子信息工程学院，河南洛阳471023)

运用积分法和待定系数法求出含5次强非线性项的Lienard方程的几类尖峰孤子解，并据此求出力学中具5次非线性项的波动方程、导数非线性Schrödinger方程和Kundu方程的尖峰孤子解.该文方法也适用于求Ablowitz方程、Gerdjikov－Ivanov方程、广义PC方程、广义导数非线性Schrödinger方程及含有3次非线性项波动方程的尖峰孤子解.

尖峰孤子解;Lienard方程;非线性波方程;非线性Schrödinger方程;Kundu方程

许多科学领域内的复杂现象都可用非线性数理方程来描述，求出并研究这些方程各种形式的精确解对于深入认识方程所描述的物理现象、定性分析和定量计算都具有重要的理论意义和应用价值.在众多的非线性数理方程中，一大类含有5次强非线性项的数理方程，如:Lienard方程［1］、力学中具5次非线性项的波动方程［1］、导数非线性Schrödinger方程［2］、Kundu方程［3］、Ablowitz方程［4］、Gerdjikov－Ivanov方程［5］和广义PC方程［1］，因为它们有强烈的物理背景而受研究者的持续关注.目前已在这些方程中得到了钟状孤波解、扭状孤波解和三角函数周期波解［1，6－14］，但是尚未见在这些方程中求得尖峰孤子解的报道.尖峰孤子解是Camassa等［15］在求解一个新的浅水波方程——Camassa－Holm方程时，得到的形如u=c e－|ξ|(ξ=x－ct)的一种新型孤立波解.该解的特点是孤立波曲线不光滑，在波峰处存在一个尖点，尖点的一阶导数不连续，因此这种解被称为“尖峰孤子解”或“孤立尖波解”.此种解的发现丰富了孤立波解的类型，拓展了人们对孤立波的认识.目前，相关作者已在许多非线性波动方程中得到了多种形式的尖峰孤子解［16－29］.

作者对上述含有5次强非线性项的数理方程进行研究，求得了这些方程的几类尖峰孤子解，其中包括一类无理函数型的尖峰孤子解.该文阐述了这一类方程尖峰孤子解的求解过程，给出了力学中具5次强非线性项的波动方程、导数非线性Schrödinger方程和Kundu方程的尖峰孤子解的具体结果，并通过数值模拟给出了解的图像.

1 求解方法

力学中具5次强非线性项的波动方程、导数非线性Schrödinger方程和Kundu方程的一般形式分别为

其中:k，p，q，s，c2，c4，c5及α，β，γ均为非零实常数.

通过适当变换，方程(1)～(3)均可化为含有5次强非线性项的Lienard方程

的形式.因此，作者首先求出Lienard方程(4)的几类尖峰孤子解，然后由Lienard方程(4)的尖峰孤子解得到方程(1)～(3)的尖峰孤子解.

1.1 积分法求解

将方程(4)改写为

在式(5)两边同乘d u后积分可得

其中:c为积分常数.对式(6)开方，得

取积分常数c=0，并令y=u2，对式(7)分离变量，得

通过适当变换，式(8)是可积分的，积分求解分以下2种情形:

(1)当3m2－16nl＜0时，对式(8)积分，得

其中:ξ0为积分常数.由式(9)可得Lienard方程(4)的一类尖峰孤子解为

(2)当3m2－16nl=0时，对式(8)积分，得

其中:ξ0为积分常数.由式(11)可得Lienard方程(4)的又一类尖峰孤子解为

图1、2分别为由式(10)、(12)确定的尖峰孤子解的图形，在ξ=0时，曲线有一尖点.

图1 式(10)确定的Lienard方程(4)的尖峰孤子解图形(l=－1，m=1，n=3/8，ξ0=0)Fig.1 Graph of peakon solution(l=－1，m=1，n= 3/8，ξ0=0)to Lienard Eq.(4)by Eq.(10)

图2 式(12)确定的Lienard方程(4)的尖峰孤子解图形(l=－1，m=1/5，ξ0=0)Fig.2 Graph of peakon solution(l=－1，m=1/5，ξ0=0)to Lienard Eq.(4)by Eq.(12)

1.2 待定系数法求解

以下利用待定系数法求Lienard方程(4)的尖峰孤子解.求解的基本步骤为［26］:首先构造具有尖峰孤子解特点的拟解

其中:b0，b1，…，bn为待定常数.该拟解在ξ=0时应满足

其次，分别在ξ≥0和ξ≤0两种条件下求出拟解u=f(|ξ|，b0，b1，…，bn)的各阶导数，代入方程(4)，整理化简.最后，解系数方程组，确定待定常数b0，b1，…，bn的具体形式.若ξ≥0和ξ≤0两种条件下能够得出形式完全相同的待定常数，则方程(4)存在形如式(13)的尖峰孤子解.

(1)假设Lienard方程(4)有如下形式的尖峰孤子解

其中:b0，b1和b2为待定常数.解式(15)，在ξ=0时有，此解可以满足式(14).

当ξ≥0时，把式(15)代入Lienard方程(4)，并注意到enb1ξ(n=1，2，3)等项是线性无关的，化简后令它们的系数为零，得系数方程组

解该方程组，得待定常数

由式(17)可知，当常数l，m，n满足3m2－16nl=0时，b2有非零解，可取不为零的任意常数.

当ξ≤0时，比照ξ≥0时求待定常数的方法，求出的待定常数b0，b1，b2与式(17)完全相同.因此，Lienard方程(4)存在形如式(15)的尖峰孤子解.将式(17)中b0和b1(取b1=+2代入式(15)，可得Lienard方程(4)的一类尖峰孤子解

因b2可取不为零的任意常数，故由式(18)可得任意多组解.取b2=，则式(18)可化为式(12).因此，式(18)包含了式(12)，后者只是前者的一个特例.在式(18)中，取b2=1，利用关系式，式(18)可化为

式(18)确定的尖峰孤子解的图形与图2类似.

(2)设Lienard方程(4)还有如下形式的精确解

将式(20)代入Lienard方程(4)后化简，并注意到(ξ+ξ0)，(ξ+ξ0)3和(ξ+ξ0)5是线性无关的，分别令它们的系数为零，得系数方程组

解该方程组，当常数l，m，n满足m2－4nl=0时，b0和b1分别为

将式(22)代入式(20)，可得Lienard方程(4)的一类无理函数型精确解

图3是当l＞0时由式(23)确定的解的图形.由图3可见，该解的曲线在波峰处有一个尖点，尖点的一阶导数不连续.因此，式(23)也是Lienard方程(4)的一个尖峰孤子解.以往得到的尖峰孤子解的形式只有u(ξ)=f(e－|ξ|)或双曲函数型，而得到有理或无理函数型(如(23)式)的尖峰孤子解的报道尚未见到.

图3 式(23)确定的Lienard方程(4)的尖峰孤子解图形(n=1，m=－2，l=1，ξ0=0)Fig.3 G raph of peakon solution(n=1，m=－2，l=1，ξ0=0)to Lienard Eq.(4)by Eq.(23)

2 几个数理方程的尖峰孤子解

利用前面得到的Lienard方程(4)的尖峰孤子解的结果，具体求出力学中具5次强非线性项的波动方程、导数非线性Schrödinger方程和Kundu方程的尖峰孤子解.

2.1 力学中具5次强非线性项的波动方程的尖峰孤子解

考察力学中具5次强非线性项的波动方程(1)，设该方程有行波解u(x，t)=u(x－vt)=u(ξ)，代入方程(1)得

(1)当3q2－16sp＜0时，方程(24)有尖峰孤子解

(2)当3q2－16sp=0时，方程(24)有尖峰孤子解

其中:b2可取不为零的任意常数.

(3)当q2－4sp=0时，方程(24)有无理函数型尖峰孤子解

以上3个解的图形与图1～3类似.

2.2 导数非线性Schrödinger方程的尖峰孤子解

考察导数非线性Schrödinger方程(2)，设该方程有如下形式的解［9］

将式(28)代入方程(2)，并使虚部和实部分别等于零，可得

其中:A，B为待定非零常数.

将式(31)代入式(29)，化简后令常数项和a2(ε)项的系数为零，得A，B需满足的系数方程组

解该方程组得

则

将式(34)代入式(30)，整理得

其中:b2可取不为零的任意常数.

以上3个解中的φ(ξ)由式(34)确定，解的图形与图1～3类似.

2.3 Kundu方程的尖峰孤子解

设Kundu方程(3)有解形如

将式(39)代入方程(3)，并使实部和虚部分别等于零，由文献［8］的结果可得

其中:b2可取不为零的任意常数.

以上3个解中的φ(ξ)由文献［8］的式(19)确定，解的图形与图1～3类似.

除了以上3个方程之外，利用该文方法，还求出了Ablowitz方程、Gerdjikov－Ivanov方程、广义PC方程和广义导数非线性Schrödinger方程［6］的尖峰孤子解.限于篇幅，该文不一一给出结果.

3 结束语

求出了Lienard方程、力学中具5次非线性项的波动方程、导数非线性Schrödinger方程和Kundu方程的多个尖峰孤子解，这些解进一步丰富了这几个方程精确解的结果，有助于对方程所描述的物理现象的认识和研究.该文方法也适用于求Ablowitz方程、Gerdjikov－Ivanov方程、广义PC方程和广义导数非线性Schrödinger方程的尖峰孤子解.此外，该文方法还适用于求含有3次非线性项的波动方程utt－kuxx+lu+mu2+nu3=0的尖峰孤子解，有关结果将另文给出.

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(责任编辑 郑小虎)

Peakon solutions for several equations ofmathematical physics w ith fifth－order nonlinear term

LIU Yu1，ZHANG Qian－qian2，LVWei－dong2
(1.Electric Power Research Institute，Henan Electric Power Company，Zhengzhou 450052，China; 2.College of Electronics and Information Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471023，China)

Several kinds of peakon solutions for Lienard equation were obtained by means of the integration and the undetermined coefficientmethod，based on which the peakon solutions for wave equation with fifth－order nonlinear term，derivative nonlinear Schrödinger equation and Kundu equation were obtained.The method used in this paper could also be used for solving many other nonlinear equations such as Ablowitz equation，Gerdjikov－Ivanov equation，generalized PC equation，generalized derivative nonlinear Schrödinger equation and wave equation with third－order nonlinear term.

peakon solutions;Lienard equation;nonlinear wave equation;nonlinear Schrödinger equation;Kundu equation

O411.1

A

1000－2162(2014)04－0037－08

10.3969/j.issn.1000－2162.2014.04.007

2013－10－07

河南省电力公司电力科学研究院科研基金资助项目

刘煜(1957—)，男，山东青岛人，河南省电力公司电力科学研究院高级工程师.