“最熟悉的陌生人”
——以二次函数为背景的考题浅析

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(鄞州区高级中学 浙江宁波 315100) (鄞州区鄞江中学 浙江宁波 315100)

函数是高中数学课程的一条重要主线，而二次函数又是贯穿高中数学课程的一种重要模型．不管在代数中还是在几何中都有它的身影，在高考和竞赛中更显示其隐形的威力.正因为大家对函数过于熟悉和了解，所以似乎忽视了它的存在，没有引起足够的重视，以至于经常犯一些低级的错误．本文通过剖析一些例题，浅析二次函数模型的命题特征，把脉学生思维的困境．

1 从2个例题谈起，探寻二次函数的踪迹

(2013年江苏省数学高考试题第13题)

学生思维的困惑点如何设点,代数式如何整理、变形,变形后是一个什么类型的模型,最值问题最终如何求解.

PA2=f(t)=t2-2at+2a2-2=

(t-a)2+a2-2(t≥2).

因为函数y=f(t)图像的对称轴为t=a，所以可分以下2种情况讨论：

2a2-4a+2=8,

得a=-1，a=3(舍去).

a2-2=8,

例2若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是______．

(2013年全国新课程数学高考试题第16题)

学生思维困惑点函数解析式系数怎么算方便，四次函数的最值求解是不是将导数进行到底，从函数解析式的特殊性入手如何解决问题.

分析因为函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，所以

化简得

于是f(x)= (1-x2)(x2+8x+15)=

(1-x)(1+x)(x+3)(x+5)=

-(x2+4x+3)(x2+4x-5).

令t=x2+4x=(x+2)2-4(t≥-4)，则

y=h(t)=-(t+3)(t-5)=-(t-1)2+16≤16,

从而f(x)max=h(1)=16(此时x2+4x=1).

点评以上2道高考试题构思巧妙，学生熟悉其背景，因此入题较容易，但绝大多数考生解决起来却感到有压力．例1的难点在于换元和分类讨论，例2的难点在于求导、因式整理化归.2道试题都很好地隐藏了二次函数这一知识点的行踪，学生考完可能会有这样的感慨：众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处！

2 针对多变的题型，如何应对

其实“她”无处不在，但往往显得“羞涩含蓄”，那么教师在平时的备课和教学活动中该如何把脉和掌控呢？以下是笔者的一些观点．

观点1展示题目背景，理清3个“二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系．

“她”渗透在基本不等式、数列、圆锥曲线等模块中，穿上不同的外套，但又不偏离二次函数与方程的本质．不妨将一些匠心独具的高考试题一起摆出来，让学生品味一番．如：

例3设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是______．

(2011年浙江省数学高考理科试题第16题)

分析令z=2x+y，则y=-2x+z，代入方程4x2+y2+xy=1得

6x2-3zx+z2-1=0.

(1)

方程(1)有解,则Δ≥0，即

9z2-24(z2-1)≥0,

例4设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是______．

(2010年浙江省数学高考理科试题第15题)

分析因为S5S6+15=0，所以

(2)

方程(2)有解,则Δ≥0，即

81d2-8(10d2+1)≥0,

点评例3和例4有异曲同工之妙，揭去它们神秘的面纱，共同点“围绕二次方程有无实根”就会暴露出来，因此在处理的手法上可用方程思想转化．一般的步骤概括为：设、代、整(整理或找主元)、用(利用判别式)．

观点2关注细节的魅力.

细节决定成败，成功有时只是一刹那间抓住的蛛丝马迹．平时在教学中,教师若能引领学生多从细微之处发现问题的本质，多揣摩题设条件背后的故事，效果会更好．

例5设a∈R，当x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=______．

(2012年浙江省数学高考理科试题第17题)

分析如图1，函数y1=(a-1)x-1，y2=x2-ax-1都过特殊点P(0，-1)．

图1 图2

例6设f(x)=x2+bx+c，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x

( )

A.有4个相异实根

B.有2个相异实根

C.有1个实根

D.无实根

(2012年浙江省高中数学联赛试题第10题)

分析如图2，因为方程f(x)=x无实数根，所以函数y=f(x)开口向上，图像在y=x的上方，因此判断

f(x)>x.

(3)

若令t=f(x)，则

f(t)>t.

(4)

由式(3)和式(4)知

f(f(x))=f(t)>t=f(x)>x.

故选D．

点评例5和例6都追求细节的处理．一些平时容易被忽视的问题，如：图像上的一些特殊点处理问题、2个二次函数图像的拼接问题、二重零点问题、2个函数图像高低问题等，都是细节的来源.教师应设法让学生体会从不熟悉的问题中找寻熟悉的痕迹，从熟悉的问题中找寻不一样的细节．

观点3重视基本思维能力的培养.

基本思维能力的培养功在平时，下面以分类讨论能力为例简单阐述笔者的观点．学生可能知道什么时候该分类讨论，但可能不知道怎样分类更合理．显然分类依据的选择是关键，方向选择恰当与否直接决定成败．

( )

(2013年天津市数学高考理科试题第8题)

图3 图4

得

即

例8设a,b,c为实数，f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)．记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数，则下列结论不可能的是

( )

A.|S|=1且|T|=0

B.|S|=1且|T|=1

C.|S|=2且|T|=2

D.|S|=2且|T|=3

(2011年浙江省数学高考理科试题第10题)

分析可以适当特殊化，然后分类．当a=b=c=0时，|S|=1且|T|=0；当a≠0且b2-4c<0时，|S|=1且|T|=1；当a≠0,b2-4c>0且b=a+c时(如取a=1,b=3,c=4)，|S|=2且|T|=2．

点评例7和例8的解决都需要分类．教师平时应该多渗透一些细节引导，如：能否利用开口方向或特殊点缩小范围分类、能不能利用函数的性质分类、可不可以特殊化或极端化处理分类等．这种平淡中的珍奇并不是一蹴而就的，需百般雕琢，细心培育．

观点4重视视野的拓展.

眼界决定未来．提升教学内容的深度和广度必不可少．很多的结构、形式都是人为加工和处理的，若要透过现象看本质，唯有拓展学生视野．

例9设a,b为实数，函数f(x)=ax+b满足：对任意x∈[0,1]有|f(x)|≤1，则ab的最大值为______．

(2013年全国高中数学联赛试题第5题)

分析易知a=f(1)-f(0)，b=f(0),则

ab=f(0)·[f(1)-f(0)]=

例10设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3，4]上至少有一个零点，则a2+b2的最小值______．

(2013年浙江省高中数学联赛试题第19题改编)

分析把等式f(x)=0看成一直线方程

(x2-1)a+2xb+x-2=0,

利用直线上一点(a,b)到原点的距离大于原点到直线的距离，即

因为x∈[3,4]，所以x-2∈[1,2]，于是

从而

当且仅当x=3时，等号成立．

点评例9和例10的解决都需要用到等价转化．积累的多少、灵不灵活是可以训练的．教师在重基础、重通性通法的同时，更应关注创造性的理性思维，这是教学努力的方向．

观点5重视函数导函数与二次函数的联系．

从高中数学引入导数开始，二次函数在中学数学中的地位就下降了．事实是这样吗？考试的重心是在发生迁移，但二次函数的价值仍在．

例11若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

(2013年安徽省数学高考理科试题第10题)

分析求导得f′(x)=3x2+2ax+b.令f′(x)=0，设x1，x2为方程

3x2+2ax+b=0,

(5)

的2个根，与方程

3(f(x))2+2af(x)+b=0,

(6)

比较后，不难发现方程(5)与方程(6)是同解方程.于是方程(6)的解是f(x)=x1或f(x)=x2.又f(x1)=x1，结合图像可知，答案是A．

例12已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，则

( )

A.当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值

B.当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值

C.当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值

D.当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值

(2013年浙江省数学高考理科试题第8题)

分析当k=1时，方程f(x)=0有2个根：x1=0，x2=1,可得f(x)的大致图像，于是选项A，B错误.当k=2时，方程f(x)=0有3个根：x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根,可得f(x)的大致图像如图5所示，易知选项C正确．

图5

例11和例12大同小异，求导之后可转化为二次函数问题，可见二次函数的重要地位．

二次函数的呈现总是“超酷”，而且非常“有型”．有时“她”秀色可餐、平易近人，有时伶牙俐齿、张牙舞爪．可以说“她”是力与美的体现，“她”从平凡中走来，又在平凡中变得伟大且富有生命力．我们应该向那些创造了如此美妙的数学“神题”的命题专家们致敬，感谢他们赋予这个“老朋友”以新的活力．教师要努力激活学生的认知和鉴别能力，让学生学会如何驾驭，这才是最重要和最迫切的！