对一道高考压轴题的多重思维探究

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(镇海中学 浙江宁波 315200)

在数学学习中，我们要善于捕捉问题中透露出来的信息.综合性强的问题往往都可以举一反三、触类旁通.因此，笔者认为对一些经典的高考题多作一些思考、猜想与总结，会发现具有普遍性的思维结果.下面笔者从2013年浙江省数学高考理科压轴题入手，分析此题的4种解法，尝试从本质上分析该题的背景、出题意图，并给出关于三次函数中心对称的一般结论，以期为平时的教学提供参考.

1 抛砖引玉——纵观题目

函数的最值问题是函数的整体性质，闭区间上函数的最值只能在区间的端点和极值点上取到.因此,要对函数在这个区间上的性质作充分地分析才能进行准确判断,要充分利用函数的图像以及问题所具有的特殊性.

例1已知a∈R，函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当x∈[0,2)时，求|f(x)|的最大值．

(2013年浙江省数学高考理科试题第22题)

2 求真务实——解法分析

第(1)小题难度不大，主要考查导数的几何意义，此处不再讨论.第(2)小题看上去简洁精练，主要涉及含参三次函数的求最值问题，但难度较大；因绝对值的参与，使得难度比平时遇到的含参三次函数更上了一个等级.以下介绍第(2)小题的4种解法：

解法1由f′(x)=3x2-6x+3a=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2，得

(1)当a≤0时，f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(0)=3-3a.

(2)当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(2)=3a-1.

0

此时f(x)在区间(0,x1)和(x2,2)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减.由

得

f(x1)+f(x2)=2>0，

从而

f(x1)>|f(x2)|，

故

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}．

f(x1)-f(0)=2t3-3t2+1=(t-1)2(2t+1)>0,

故

f(x1)-|f(2)|=2t3+3t2-1=(t+1)2(2t-1).

|f(x)|max=|f(2)|=3a-1．

综上所述，

点评本题考查了数形结合、转化与化归、分类讨论思想，还要求学生具有较强的运算能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力.

代入上式得

-(x1-2)2(2x1-1).

点评在求不等式的过程中，先求x1的取值范围，再求a的取值范围，避免了根式，转化为整式，也不失为一种好方法.

《规划》力求从五个方面夯实农垦振兴的基石：一是在农业生产上实现由追求数量到讲究质量的转变，着眼于发展绿色、生态、有机、优质农产品；二是实现多业态融合发展，坚持农业种养结合、农业服务与农产品精深加工结合、农旅结合，实现一二三产融合发展；三是以项目为抓手，加大投入力度，实施项目带动产业发展；四是在体制机制上进一步推进集团化改革，增强企业内生动力，实现集团由管理型向服务型转变；五是争取政府的支持，与安徽省乡村振兴规划相对接，抢抓发展机遇，确保农垦与地方平等享受国家普惠政策。

讨论的标准不同做题的过程也就各异,因此还可以用另一种思路进行讨论.

解法2由f′(x)=3(x2-2x+a)，记判别式Δ=36(1-a),对Δ进行讨论：当Δ≤0，即a≥1时，同解法1；当Δ>0，即a<1时，设f′(x)=0的2个根为x1,x2，且x1+x2=2，此时

(1)当x1≤0且x2≥2，即a≤0时，同解法1；

(2)当0

由(1)，(2)可得

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.

又f(x1)>f(0)，f(0)=3-3a>0,从而f(x1)>|f(0)|，于是

|f(x)|max=max{f(x1),|f(2)|}.

f(x1)>|f(x2)|>|f(2)|，

故

|f(x)|max=f(x1).

评述二次函数中对判别式Δ的讨论是一种比较常见的思路.本题涉及三次函数，它的导函数是二次函数，因此对导函数的实根分布问题就是本题的讨论点，也是本题的突破口，如此也能得到解法1的结果.要达到在高考中思路开阔清晰的理想状态，首先教师要在平时教学中引导学生用多种方法来解题，发散学生的思维，锻炼学生的意志力，这样学生遇到难题时才会有足够的信心，而不会半途而废.

以下解法3只给出关键的步骤，其他的可对照解法1和解法2得到.

解法3由f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，可知函数f(x)的图像是由奇函数y=x3+3(a-1)x平移得到，因此f(x)的图像关于点(1,1)对称.

当x∈[0,2]时，fmax(x)+fmin(x)=2，因此fmax(x)>0且fmax(x)>|fmin(x)|(若fmin(x)≥0，显然成立；若fmin(x)<0，则fmax(x)=2-fmin(x)=2+|fmin(x)|>|fmin(x)|)，故

|f(x)|max=fmax(x)，

于是只需考虑f(x)在[0,2]上的极大值和端点函数值.

当a≤0与a≥1时，同解法1.当0

|f(x)|max=max{f(x1),|f(2)|}，

且f(2)必定为正数，从而

|f(x)|max=max{f(x1),f(2)}，

下面只需同解法2讨论f(x1),f(2)的大小即可.

解法4是在解法3基础上的改进.

解法4由f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，令t=x-1∈[-1,1]，则

y=f(x)=g(t)=t3+3(a-1)t+1，

即转化成求g(t)在t∈[-1,1]上的最大值问题，且函数g(t)的图像关于点(1,0)对称,以下同解法3.

点评对于解法3和解法4，从问题的本质看是用到了三次函数的中心对称性,原函数可变为f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，关于点(1,1)对称，因此很快得到|f(x)|max=fmax(x)，从而避免了繁杂的计算，比解法1和解法2简单很多，同时也有助于学生提高对知识系统性的理解水平.在平时教学中，教师可以多归纳、多总结，在课堂上适时引导，并让学生在课后作深入探究，更可以在选修课上发挥学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣.

3 举一反三——结论推广

高考压轴题善于从基础知识入手，逐渐加深，以此考查学生的知识深度和广度，以期达到真正选拔人才的目的.本文在对例1进行尝试多角度剖析的同时，对三次函数进行归纳性的整理，得出具有普遍性的结论.由此可见，在平时的训练中，加强对学生思维的训练远胜于单纯的题海战术，多角度思考和发散有利于在遇见真正的难题时举一反三，化繁为简，从而得到理想的结果.高考考查的从来不是偏深的难度，而是触类旁通的灵活性和变通性.

参 考 文 献

[1] 管宏斌．三角函数对称中心初探[J]．数学通讯，2004(15)：25-26．

[2] 徐建君．三次函数的对称中心及其应用[J]．考试：高考理科版，2006(11)：17-19．