由一道向量题引发的解题思维实践

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(宁海中学 浙江宁海 315600)

与三角形三心(外心、垂心、内心)联系的平面向量问题是数学高考中经常出现的一类题型.对这类题型的解题探究可以开阔学生的解题思维，培养学生的发散思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.本文利用一道高考模拟题，从学生实际出发进行一题多解的尝试，有效地创设学生思考的空间，让师生都能获取“智慧”，从而丰富解决问题的策略.

1 试题再现

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2 考情分析

这是一道高考模拟题，该题的得分较低.笔者找了部分做对的学生了解到：一部分学生是从选项出发，运用代入排除法：代入选项A时满足，就直接选择了A，其余选项看都没看；一部分学生是猜的；小部分学生利用外心这个条件，真正求出正确结果.为何看似一道普通的向量题，却难倒了如此多的学生，这不禁引起了笔者的思考.

3 解法赏析

注意到OD⊥AD，从而

在△ABC中，由余弦定理得

从而

由

得

解得

图1 图2

从而

又

从而

解得

点评解法2采用坐标法，根据三角形已知的3条边长，可求解出任一个角，即3个顶点的坐标均可以解出.利用正弦定理可以求出外接圆的半径，即AO的长.由O是中垂线的交点，可以得出AD的长，进而根据Rt△AOD可得出OD的长，因此可以求出点O的坐标.最后利用向量相等，等价于横纵坐标分别对应相等，得出关于x,y的方程组，解之.解法2体现了坐标法的优越性，是学生容易想到的一种解法.

从而

故∠BAC为锐角.如图3，过点O作OG∥CA交AB于点G，作OH∥BA交AC于点H.

由OG∥CA可得

从而

由解法2知

从而

图3 图4

解法4由解法2，知

如图4，在△AOB中，由余弦定理得

从而

在△AOC中，由余弦定理得

从而

在△AOG中，由正弦定理得

解得

点评解法4与解法3类似，与解法3不同的是求AG,AH的长度是先利用余弦定理分别解出∠BAO与∠CAO的正弦，再利用正弦定理得解.

图5

解法5由解法2，知

取BC的中点H，联结OH，则OH⊥BC.因为

所以由余弦定理可知

又

得

由

上述各种解法，是对所给问题多角度观察、联想、思考的结果.本题也让我们感受到命题者的良苦用心，让我们深刻体验到：好的考题中蕴含着基本的数学思想方法，一题存在多种解法，入口宽，活而不难，突出对学生灵活运用知识能力的考查.

4 试题类比

对于内心和垂心的解法探究：

解法1如图6，OE⊥AB，OF⊥AC.由△ABC的3条边长可求得

从而

即

解得

图6 图7

即

解得

即

解得

图8 图9

从而

解得

5 反思

教学中对一类问题不能仅仅满足于完成试题得到结果，而应该舍得花时间组织学生对条件和结论多反思、拓展，让学生亲身经历探究过程，发现隐藏在试题背后的通性、共性的知识，理解基本的数学概念、教学结论的本质，体会其中蕴藏的数学思想方法，从而提高学生的数学素养.

参 考 文 献

[1] 邱慎振.一道高考模拟试题的多视角探究与思考[J].中学教研(数学),2013(11)：26-28.

[2] 严飞.对一道课本例题的深入挖掘[J].中学教研(数学),2013(9)：11-12.

[3] 张定强，赵宏渊，杨红.高中生数学反思能力培养的基本模式与实践探索[J].数学教育学报，2008,17(1)：38-42.