初中数学图式复习之寻根溯源

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(凤起中学 浙江杭州 310004)

1 问题的提出

图式复习教学就是教师提供适切的学习材料，整合新旧知识的联系，引导学生建构、理解图式，以达到提高课堂学习效率和效果的教学.运用图式复习，能发挥学生学习的主动性，激发学生的学习动机.图式复习在解题的分层教学过程中，能让所有学生“吃得了”，让好的学生“吃得饱”，让不同层次的学生都能获得进步和提高.运用图式复习，能充分暴露学生的思维过程，体会知识的发生与发展过程.图式复习教学可以让学生用已有图式去建构新图式，留出更多的思考时间和空间，能在过程中体验、学习、感悟许多知识以外的东西.

2 图式复习之寻根

题根对于平面直角坐标系中的2个点,如A(2,3),B(-1,2)，同学们，你们能想到什么？

设计意图题目设计充分考虑学生现有认知水平，照顾到所有的学生，基础薄弱的学生想得问题会浅一点，基础好的学生想得问题会比较深，让每一位学生都有收获和提高.

下面笔者把学生想到的问题归纳一下：

A组题：

生1：2个点的位置关系有2种表示方法:有序数对法和方位法；

等等.

2.1 图式复习之变式拓展——衍生面积问题

图1

如考虑点O，衍生出△AOB的面积问题,学生总结出求△AOB面积的几种方法.

求不规则三角形的面积最常用的是“割补法”:“割”就是把三角形分割成2个三角形△AOC和△BOC(图1),可得公式：

即

“补”就是把三角形补成梯形或矩形(如图2)求解.

图2

实际上，教师可以将题目再深化，运用函数作为背景：

(1)以反比例函数作为深化背景.

图3

(1)这2个函数的解析式；

(2)直线与双曲线的2个交点A,C的坐标；

(3)△AOC的面积.

这个问题比较简单，是为基础薄弱的学生准备的，用“分割”的方法求三角形面积，必须求出直线AC与x轴的交点坐标.

(2)以二次函数作为深化背景.

从静态图形着手思考，你能求出图4中哪些点构成的图形面积？

学生能求出△AOC,△BOC,△ABC,△AOD,△BOD的面积，请问能求△BCD的面积吗？

同样可以利用割补法求解，总结出3种方法.

方法1补全成矩形.

方法2利用四边形OCDB的面积减去△OBC的面积，即S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OBC(图5).

图4 图5

方法3利用铅垂高DE分割(图6)，得

图6 图7

由静到动，还可以研究三角形面积的最大值问题.当点F在抛物线上时(如在第四象限)，问何时S△BCF最大(图7).设点F(x,y)，把点F看成已知点，用上面的3种方法均可以得到三角形面积，把面积看成x的函数，利用函数思想求面积的最大值.如此由静到动，学生头脑中的“分割法”获得了新的活力.

图8

(1)点C的坐标为______，点A的坐标为______.

(2)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.

①当点M运动到何处时，△AMC的面积最大，并求出△AMC的最大面积及此时点M的坐标；

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大，并求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.

(3)若点M为x轴下方的抛物线上的一个动点，联结MA，MC，记△MAC的面积为S，问S取何值时，相应的点M有且只有2个?

第①小题中的M是动点，学生可以由“注入活力”的分割法求解.第②小题由三角形变为四边形，同样可以分割为△AMC和△ACB，而△ACB的面积是定值，方法同①.第(3)题中的点M改为x轴下方的抛物线上的一个动点，这样就必须分类讨论，分点M在第三象限和第四象限2种情况讨论,并分别求出点M在第三象限时△AMC的最大面积和△ACB的面积.引导学生分析这2个面积不等时，情况是不一样的.

通过这个专题的研究，让学生对三角形的面积(包括静态和动态)问题有了一定的认识.获得了求面积的重要方法——割补法，对数学思想如函数思想、数形结合思想、分类思想有了更深的体会.

2.2 图式复习之原题改编——衍生距离问题

考虑坐标轴，衍生“将军饮马”问题.“将军饮马”问题在课本中原型(七年级下册)：如图9，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？这类问题经常会跟着它的孪生题，即求距离差绝对值的最大值(如图10).

图9 图10

学生提出在x轴上分别找点C,E，使得CB+CA值最小、|EA-EB|值最大.

此类问题考查的知识点主要有:两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边、点关于线的对称等.

原题改编，实际上还可以进行如下变化：

图11

例3已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(2，-5)，B(5，1)．在同一个坐标系内画出满足下列条件的点(保留画图痕迹)，并求其坐标．

(1)在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；

(2)在x轴上找一点D，使得AD-BD的值最大．

解决了这个问题之后，引导学生改变点A,B的位置.通过改变点A,B的位置，发现：求和的最小值时必须使点A,B位于直线的异侧，否则作其中一点的对称点，如作A的对称点A′，则直线A′B与直线的交点就是求点C的方法；求差的最大值时，必须使A,B位于直线的同侧，否则作其中一点的对称点，如作A的对称点A′，则直线A′B与直线的交点就是求D的方法.

教师拓展，增添背景,也可改编成如下几何背景题目：

例4(B组题)(1)如图12，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是______.

变换背景引导学生思考：可以把菱形改成什么图形？因为这类问题需要作对称点，所以出题的背景可以变,如角、三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆;函数背景如双曲线、抛物线等轴对称图形.

图12 图13 图14

改动对称轴的位置，定点变成了动点.

(C组题)(3)如图14，在正方形ABCD中，AB=2,Q是AB的中点，求PM+PB的最小值;

(4)联结QC，点P,M是QC,BC上的任意点，求PM+PB的最小值.

第(1)、(2)小题虽然增加了背景，但实际上是对问题的直接应用.第(3)小题对问题稍作改编，M也变成了动点，题目就变成点到直线的问题了,要求学生灵活运用所学的知识.此题还可以改编成函数背景的题目：

(2)在第(1)小题中，若使得△ADC的周长最小，试求点D的坐标.

增加动点，学有余力的学生可以思考第(3)小题：

(3)若一个动点M自P出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线对称轴上某点(设为点F,如图15)，最后运动到点A.确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置(如图16)，并求出这个最短路程的长.

图15 图16

第(1)、(2)小题还是属于“将军饮马”问题，第(3)小题虽增加动点，通过这些求距离问题的解决，发现最终的知识是用到初一学的“两点之间的距离”和“点到直线的距离”.

2.3 图式复习之通性通法——衍生等腰三角形问题

(1)已知O(0，0)和A(0,2),在坐标轴上求点B，使△OAB为等腰三角形.

(2)已知O(0，0)和A(1,2),在坐标轴上求点B,使△OAB为等腰三角形.

(3)已知O(0,2)和A(2,0),在坐标轴上求点B,使△OAB为等腰三角形.

(4)已知A(2，3)和B(-1，2),在坐标轴上求点P,使△ABP为等腰三角形.

这里涉及到分类思想、方程思想、两点之间距离、勾股定理、等腰三角形知识、中垂线知识、圆的知识等等.

对第(4)小题分析：因为腰和底不确定，所以要对等腰三角形的边分情况讨论:

当AB是底时——作线段AB的中垂线交x轴于点P5与y轴交点类似.

这道题目也可以以函数为背景构造如下一些问题：

(1)求线段OP的长和tan∠POM的值；

(2)在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标.

图17 图18

例7如图18，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3，0)和点B(2，0)．直线y=h(h为常数，0

(1)求抛物线的解析式.

(2)联结BE，求h为何值时，△BDE的面积最大.

(3)已知一定点M(-2，0),问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．

3 图式复习教学给我们的思考

3.1 图式复习应该让学生人人获得发展

初中最后复习阶段，学生学习数学的兴趣和学习成绩已经明显分化了，优等生“吃不饱”，中等生“够不着”，后进生“吃不了”的情况比较常见.复习课教学，不只是相关知识点的梳理和罗列，而是要围绕教学内容和教学进度安排，考虑学生现有认知结构和能力水平，让优秀学生能力上获得提高，中等生方法上有所启迪，落后生在知识方面有所收获.图式复习教学中也要激发学生学习兴趣，让学生获得求知的强大动力，让学生人人获得发展.

3.2 图式复习应该让教师分层设置目标

教师应为不同的学生设置相应的学习目标，复习课应遵循学生的认识规律，由易到难，从具体到抽象，呈现给学生的问题应考虑不同学生的认知水平，既要设计为后进生作思路导引的问题，又要设计为优等生提供思维拓展的问题，还要设计接近学生“最近发展区”的问题.图式复习教学一定要激起学生的求知欲，使各个层次的学生都能获得不同程度的发展.

3.3 图式复习应该激发学生学习主动性

数学学习活动应是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.图式复习教学中教师应该发挥学生的主动性，问在重点处，释在疑点处，答在要害处，启在不确定处，复习过程吸引所有学生都能主动参与.留给学生思考的时间和空间，等待学生慢慢想明白，有时直接告诉解题方法或答案不一定能收到好的效果.问题的设计让学生有想象的空间、有变式的空间，体会思想方法，促进学生积极主动地学习.

3.4 图式复习应该注重学生知识间的联系

初中数学知识量大面广，要求学生纵向掌握概念、定理、法则，横向加强不同知识间的联系，中考压轴题往往是不同知识点的综合运用题.图式复习教学在复习过程中，要求回顾不同知识点，将前后知识融会贯通.如初中代数中方程、不等式、函数这3块知识点是彼此独立的，借助图像可以将函数、方程、不等式等知识点串联起来，帮助学生形成直观概念图式，加深对各部分知识的理解和应用，形成完整的知识结构.

3.5 图式复习应该努力渗透数学思想方法

从认知的角度看，数学学习过程是数学认知结构的发展变化过程，而图式的形成和变化就是认知发展的实质.教师通过对数学概念的抽象、概括和解题思路的分析、归纳，让学生在复习过程中体会数学知识的生成，并经历、体验和探索数学思维活动，指导他们形成数形结合、转化、化归等数学思想和解决问题的方法，提升学生的数学素养，提高数学复习课的教学效果.

参 考 文 献

[1] 皮亚杰,英海尔德.儿童心理学[M].吴福元,译.北京:商务印书馆，1980:5.

[2] 波利亚.怎样解题:数学思维的新方法[M].涂弘,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社,2011:6-7.

[3] 赫根汉,马修,奥尔森.学习理论导论[M].郭本禹,崔光辉, 朱晓红等,译.上海:上海教育出版社,2011:249.

[4] 徐月霞.浅谈提升初中数学复习效益的有效形式[J].中学数学,2012(4):70.

[5] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社,2012:7.