主变元思想在圆锥曲线中的应用

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(海宁市高级中学 浙江海宁 314400)

直线与圆锥曲线的综合问题是历年高考的重点内容之一，也常常是难题的载体，是学生取得高分的制高点．直线与圆锥曲线问题的解决，往往要将代数与几何的方法完美结合，既有代数的函数与方程、分类讨论、代数变式等思想应用，又有几何性质的参与，综合性较强，主要涉及的问题常有：定点定值问题、参数求最值或范围的问题、位置关系的判定、长度或面积的求值问题等等，对学生综合解决问题的能力要求较高．而学生在处理这些问题时，往往只会利用通式通法，而对参量本身的选择与应用把握不到位，结果发现问题的处理过程复杂、计算繁琐，最后不了了之．因此，直线与圆锥曲线问题的处理，特别需要关注参数的选取和应用．

1 课堂实录

高二下学期，笔者在上选修内容“圆锥曲线与方程”的习题课时，有过这样一次精彩的历程，实录如下：

生1：设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线相交于点A(x1,y1)，B(x2,y2),联立直线与抛物线方程得关于x的一元二次方程

k2x2+(2kb-4)x+b2=0，

从而

由题意

后面我解不下去了．

师：谁能接着解下去？

师：生1和生2使用的是通式通法，利用题目中的等量关系列方程，步骤也很完整，究竟错在哪里呢？

生3：参数选择不恰当.结合几何性质，参数k与b应该符号相反，即b=-2k，从而y=k(x-2)，定点为(2,0)．但生1和生2的解法中平方掩盖了这个事实，平方产生了增根，导致错误.我的解答是：只选择点参数，围绕点的坐标解答.

化简得

(y1+y2)y-4x+8=0，

即

因此直线l过定点(2,0)．

(全体学生感到惊讶.)

生4：老师，我用的是直线参数法.设出直线l的方程，利用直线参数计算，找出这些参数之间的关系也能解决．

师：你来演示一下．

生4：设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线相交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与抛物线方程，消去x得

ky2-4y+4b=0，

从而

即b=-2k，于是y=k(x-2)，故直线l过定点(2,0)．

师：生4的解法其实是对生1的解法进行了修正，2种解法都体现了解决直线与圆锥曲线综合问题时参数的选择和围绕主参数进行等式变形的特点.这也是通式通法中能将计算进行到底的依仗与技巧,希望同学们能在以后的解题中加以体会．

2 教学反思

这堂课之所以是一次精彩的历程，是因为它体现了新课程以学生为主体的理念.整个教学过程教师只是在引导，引导更多的学生主动参与其中，通过生与生之间的互动、诱导，让学生自己逐步提出、完善解法．当然，主变元思想作为圆锥曲线应用中一种重要的解题思想，是在学生的相互启发中得以产生、完善与体现的．

其实，笔者没有预设到以上学生的解法，笔者的解答过程是：设直线l的方程为ty=x+b，与抛物线方程联立，消去x得

y2-4ty+4b=0，

解得

得b=-2，因此直线AB的方程为ty=x-2，即直线l过定点(2,0)．

看到学生的精彩解答后，笔者的解答显得过于技巧了，这堂课最精彩的内容往往是学生自主的课堂生成．生1的失误是因为主变元不突出，在解题过程中，既有线参数(k,b)的参与，又有点参数x1,y1,x2,y2的参与，虽然生2最后也偶然地统一到了线参数，但因为平方再开方导致增根而解不下去．生1的错误非常典型，学生在解直线与圆锥曲线的综合题时，往往只会生搬硬套解题通法，机械地联立方程组，消元得到一个一元二次方程，利用韦达定理转化为关于点的坐标的等式，再埋头苦算.但更多的时候是算不下去或在繁杂的计算中迷失了解题的方向，分不清主变元，不能围绕主变元展开等式变式，从而导致解题失败.解不出题，更多的学生只能寻求步骤分，这也是无奈之举．

生3、生4的解法和笔者预设的解法，则很好地把握住了主变元的作用.生3的解法以点参数为主变元，利用点参数表示题目条件，通过等式变形，找到以点参数表示的直线方程，从而顺利地解决问题.生4和笔者预设的解法其实都体现出了以线参数为主变元，将问题要素用线参数表述出来，通过计算分别找到了k与b的关系或b的值，从而找到定点．

3 变式应用

为了让学生及时地巩固例1的思想方法，课后笔者又找了几道类似的习题给学生训练：一方面能引导学生进一步思考、完善、巩固解题方法；另一方面让学生能熟练操作、准确领悟解答问题的思想方法．

例2已知点A(x0,2)在曲线C:y2=4x上，过点A作曲线C的2条弦AD,AE，且AD,AE的斜率分别为k1,k2满足k1k2=2，试判断直线DE是否过定点，并证明你的结论．

分析1点参数主变元思想

解得y1y2=4-2(y1+y2)，代入直线DE的方程得

即

两边同乘y1+y2，得

(y1+y2)y-y1(y1+y2)=4x-y12,

即

(y1+y2)y=4x+4-2(y1+y2),

化简得

从而直线DE过定点(-1,-2)．

分析2线参数主变元思想

设D(x1,y1)，E(x2,y2)，直线DE的方程为

与抛物线联立得

从而

y1y2=4-2(y1+y2)，

即

评注本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的基本关系等基础知识，考查学生运算求解直线过定点的能力.例2背景简单，解题方法却很深刻，若设直线AD,AE斜率为k1,k2，然后用k1,k2表示DE直线方程，虽能计算出来，但计算难度很大，很难得到结果.而主变元思想的应用，不管是用点参数主变元还是线参数主变元，都能将直线DE利用适当的参数表达出来，从而找到直线所过的定点，其优点是运算相对简单，过程简洁．

4 引申应用

例1和例2都是定点定值问题，从解答过程可以体会到：主变元思想主要是通过引进参变量表示题目的变化过程，然后通过运算及等式变式，发现某些与参数无关的量，这就是定点定值问题的本质．其实，利用点、线参数主变元的思想，解决直线与圆锥曲线综合题中的参数求最值或范围的问题、位置关系的判定、长度或面积的求值问题等等也有着很好的指导作用.即根据题意选择一些适当的参数，把所讨论的参数作为一个函数，再从中选择一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围或求参数的最值．