追问反思 联想求解
——一道二元最值题的教法探究

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(如东高级中学 江苏如东 226400)

近年来，给出二元变量的约束条件、求二元变量的最值问题,出现在各类考试中.这类题目所涉知识面广、入口宽、方法多、能力要求高，学生很难又快又准地解决问题.笔者在教学中遇到一道二元最值题，本文将笔者与学生共同探究这类问题解法的过程记录下来，供大家参考.

1 题目展示

题目已知点P(x,y)的坐标满足

2 师生共同探索

2.1 熟悉问题

图1

让学生认真读题，用线性约束条件可以作出可行域(如图1).

师：有哪些易错的地方？

生1：注意不等式中等号能否取到，也就是分清可行域的边界是虚线还是实线.

2.2 深入理解问题

2.3 函数与导数角度

方法1(常规方法)若x=0，则

师：分子、分母同除以x可以直接得到斜率，从而达到减元的目的.用常规方法解决这道填空题思路简单，但需要分类讨论，计算量大，耗时过长，容易发生计算错误.目标还是减元，同时减少分类讨论的情形，方法1还能简化吗？

生3：我观察到可行域中y≥0，如果分子、分母同时除以y，讨论情况将会减少.

方法2(常规方法的改良)若y=0，则x<0，从而

从而

当t→-∞时，

又

于是

师：对比2种方法，哪种更优？

生4：方法1和方法2同样是减元，分式的分子、分母分别同时除以x和y，方法2中少讨论一种情形，运算量明显减少.

2.4 解析几何的角度

师：分母是根式，由此能联想到什么公式？

图2

从而

从而

sin∠DOP=0.

师：方法3和方法4都是转化为解析几何中含根号的公式解决问题.方法4将距离比值转化为三角函数，明显简化，那么可以直接转化为三角函数解题吗？

2.5 三角与向量的角度

方法5(三角代换)因为

于是

所以

方法6同方法5可得

从而

即

师：由方法4联想到三角函数方向，方法5和方法6都是转化为三角函数解题.方法5在求三角函数的定义域时，利用直线的斜率与倾斜角的关系;方法6利用图形的旋转变换解决值域问题.本题一直使用数形结合的思想，哪些数学分支充分体现了数形结合思想？结论分式与什么公式的变形相似？

由可行域得

从而

于是

2.6 特殊化

师：作为填空题，可以“猜”吗？

2.7 基本不等式的角度

师：这是一个二元变量问题，可以联想到基本不等式.为什么不用基本不等式呢？

生10：这道题的变量已经有了范围限制，x,y不能保证同号，不等式中等号成立的条件不能满足.基本不等式一般只能取到最大值和最小值中的一个，同时算出最大值和最小值很困难，而本题需要得到取值范围，用基本不等式解决比较困难.

3 拓展训练

3.1 变式训练

师：可以变结论吗？

生11：已知点P(x,y)的坐标满足

注：利用已有题源，不改变条件，可以得到更多结论，不赘述了.

师：可以变条件吗？

生12：条件可以变少！已知点P(x,y)的坐标满足

师：怎么想到可以去条件的？

师：本题的解决流程可以用图3表示.

图3

师:这也是我们解题的一种模式.课后考虑2个练习题.

3.2 巩固训练

1.已知实数x,y，满足不等式

注：题1是线性条件下的二元最值问题，题2是非线性条件下的二元最值问题.

4 教法反思

(1)波利亚认为解题要回归到定义，掌握那些在专业术语后面数学对象间的实际关系.

高斯说过：在数学中，关键的不是记号而是概念.按照新课程标准，对数学概念掌握要达到3个层次：第一层次，了解、模仿(正向运用)；第二层次，理解、发现、领悟(逆向运用)；第三层次，迁移、探索、内化(变形运用).在本文中，联想点线距、两点之间距离是逆向运用；联想三角函数、向量的数量积是变形运用.学生只有概念理解透彻，概念清晰、公式和定理使用灵活，才可能在解题中产生联想甚至是直觉.

(2)在解题教学中，教师要善于追问.

教师的追问就是引导学生思考已知和未知之间的联系，得到求解的计划.学生必须了解问题的文字叙述，教师可以要求学生重新叙述题目，而学生应能流利地重新叙述.学生应当能够指出问题的主要部分，即需要求解的结论、已知数据、条件，甚至问题的难点.在本文中，教师追问的主要问题有：未知什么,已知什么,用什么方法在已知和未知之间搭建桥梁,难点是什么.追问问题必须高于学生的思维,同时又让学生经过努力能够解决；追问的问题必须是解决整道题的关键；追问就是为了指导学生的思考方向.

(3)解题教学最后一环应该是反思.当解题完成时，教师要组织学生反思，让他们反思解题过程、所用的知识和方法，寻求解法之间的关联，寻求一解多题，寻求变题，反思可以充分发挥一道题目在教学中的作用.在本文中，每种方法给出以后，师生都在反思，学生通过反思，可以巩固知识，提炼方法，提升能力，激发学习数学兴趣，并进一步认识到：“没有任何一个题目是彻底完成的，总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解.”[1]

(4)解题教学中要注重引导学生将问题特殊化.特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象，特殊化在求解问题时非常有用.生8的解法就是特殊化，将极端情况计算出来，然后猜测一般的结论.教师要创造机会让学生猜，要多出开放题让学生去发散思维，允许学生适当跳步，先鼓励学生大胆假设，后引导学生小心求证.

参 考 文 献

[1] 波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007：12