多值直觉模糊软集

1.合肥学院 数学与物理系，合肥 230601

2.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601

江立辉1，陈华友2，丁芳清1，赵 娟1

多值直觉模糊软集

1.合肥学院 数学与物理系，合肥 230601

2.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601

江立辉1，陈华友2，丁芳清1，赵 娟1

1 引言

软集理论[1]作为一种新的数学工具来处理不确定性问题，弥补了传统模糊理论在参数工具上的不足。如今，软集理论已被国内外学者所关注，并被成功应用到数据分析、预测、决策等众多的领域[2-7]。在软集理论研究中，关于软集与模糊集的融合研究是一个重要的研究方向，Feng F等学者将粗糙集、区间模糊集、双极值模糊集与软集理论融合分别提出了粗糙软集、区间直觉模糊软集和双极值模糊软集的概念及相关性质[8-10]。Sulaiman提出了多方面模糊软集的概念及性质[11]，Zhang Z提出了梯形区间二-型模糊软集的概念，并将其应用于多属性群决策中[12]。Babitha提出了广义直觉模糊软集的概念及性质，并将其用到了决策问题中[13]。实际中对一个对象的评价，不同的人得到的结果往往是不同的，即使同一人从不同角度出发得到的结果往往也是不同的，故张善文和S.Sebastian等人于2008年和2011年先后提出了多值直觉模糊集的概念[14-15]。多值直觉模糊集是对直觉模糊集的拓展，较传统直觉模糊集在描述信息不完全问题时的能力更强。本文在此基础上将多值直觉模糊集和软集理论相融合，提出多值直觉模糊软集的概念并讨论其相关性质。

2 基本概念

下面给出软集、直觉模糊集以及多值直觉模糊集的一些基本概念。

定义2.1[1]令U是一个论域，E是一个参数集，P(U)表示U的幂集，A⊆E。设F:A→P(U )为一个映射，则称(F ，A)为U上的软集。

3 多值直觉模糊软集

定义3.1令U是一个论域，E是一个参数集，MkIFS(U )表示U的k维多值直觉模糊集，A⊆E。设F:A→MkIFS(U )是一个的映射，则称(F，A)为U上k维多值直觉模糊软集（Multi-Intuitionistic fuzzy soft sets）。

换句话说，多值直觉模糊软集是参数到MkIFSS(U )上的映射。它是论域U上多值直觉模糊集的子集构成的参数族。对于∀e∈A，F(e)可以被看作是一组参数为e的多值直觉模糊软集(F，A)中的元素。可记作：

例 3.1 假 设 U=(u1，u2，u3，u4，u5) 是 一 组 衣 服 ，A=(e1，e2，e3)是一组参数，其中 e1代表参数“颜色”，包括红色和绿色，e2代表参数“材质”，包括羊毛和棉，e3代表参数“价格”，包括贵的，便宜。可以定义下面的2维多值直觉模糊软集：

从该软集(F，A)中可以得到很多信息，例如衣服c1颜色中红色隶属度为0.4，非隶属度为0.2；绿色隶属度为0.5，非隶属度为0.3。

定义3.2A，B∈E，(F，A)和 (G，B)是论域 U 上的两个k维多值直觉模糊软集，如果满足：

例 3.2 U={u1，u2，u3，u4}，A={e1，e2}，B={e1，e2，e3}，显然 A⊆B。假设(F，A)和(G，B)是两个2维的多值直觉模糊软集，且则 (F，A)⊑(G，B)。

定义3.3(F，A)和(G，B)是论域U 上的两个 k维多值直觉模糊软集，如果 (F，A)⊑(G，B)，且 (G，B)⊑(F，A)，则称 (F，A)和 (G，B)相等，记为 (F，A)=～(G，B)。

定义3.5(F，A)是论域U上的一个k维多值直觉模糊软集，如果对 ∀e∈A，hi∈U 且有 μijF(e)(hi)=1且γijF(e)(hi)=0，则称(F，A)是一个满值多值直觉模糊软

定义3.6(F，A)是论域U上的一个k维多值直觉模糊软集，记映射Fc:A→MkIFS(U )，对 ∀e∈A，有Fc(e)=(F(e))c，即∀e∈A，x∈U 有 μijFc(e)(x )=γijF(e)(x)；γijFc(e)(x) =μijF(e)(x) 成立，则称 (Fc，A)为 (F，A)的补集，记为 (F，A)c。

例3.3考虑例3.1，可以得到如下的(F，A)c：

则称(H，C)为 (F，A)和 (G，B)的并，记为(F，A)⋓(G，B)= (H，C)。

定义3.8(F，A)和(G，B)为论域U上的两个k维多 值 直 觉 模 糊 软 集 ，若 C=A∩B，∀e∈C，H(e)= F(e)∩G(e )。则称 (H，C)为 (F，A)和 (G，B)的交，记为(F，A)⋒(G，B)=(H，C)。

定理2(F，A)和(G，B)为论域U上的两个k维多值直觉模糊软集，那么

证明由定义3.7和定义3.8易得。

定理3(F，A)和(G，B)为论域U上的两个k维多值直觉模糊软集，那么

证明（1）假设(F，A)⋓(G，B)=(H，C)，其中C=A∪B，且∀e∈C，

所以 ((F，A)⋓(G，B))c=(H，C)c=(Hc，C)，且

再假设 (F，A)c⋓(G，B)c=(Fc，A)⋓(Gc，B)=(I，J)，其中 J=A∪B，∀e∈J，

可以看出C=J且∀e∈C(J)，Hc(e) e⊆I(ｅ)，证毕。

（2）同理可证。

定理4(F，A)和(G，B)为论域U上的两个k维多值直觉模糊软集，那么

（1）(F，A)c⋒(G，B)c⊑((F，A)⋓(G，B))c

（2）((F，A)⋒(G，B))c⊑(F，A)c⋓(G，B)c

证明（1）假设(F，A)⋓(G，B)=(H，C)，其中C=A∪B，且∀e∈C，

（2）同理可证。

定理5(F，A)和(G，A)为论域U上的两个k维多值直觉模糊软集，那么

（1）((F，A)⋓(G，A))c=(F，A)c⋒(G，A)c

（2）((F，A)⋒(G，A))c=(F，A)c⋓(G，A)c

（2）同理可证。

定义3.9(F，A)和(G，B)为论域U 上的两个 k维多值直觉模糊软集，“ (F，A)且 (G，B)”定义为 (H，A×B)，其中H:A×B→MkIFS(U)是一个映射，∀( ) α，β ∈A×B，hi∈U，有

定义3.10(F，A)和(G，B)为论域U上的两个k维多值直觉模糊软集，“ (F，A)或 (G，B)”定义为 (H，A×B)，其中H:A×B→MkIFS(U)是一个映射，∀(α ，β)∈A×B，hi∈U，有成立，即

将“ (F，A)或 (G，B)”记为 (F，A)∨(G，B)。

定理6论域U上的两个k维多值直觉模糊软集(F，A)和 (G，B)有：

证明（1）假设(F，A)∧(G，B)=(H，A×B)，因此((F，A)∧(G，B))c=(H，A×B)c=(Hc，A×B)。现在 (F，A)c∨(G，B)c= (Fc，A)∨(Gc，B)=(O，A × B)，取(α，β)∈A × B，所以Hc(α，β)= (H(α，β))c=(F(α)∩ G(β))c=Fc(α)∪ Gc(β)，O(α，β)=Fc(α)∪Gc(β)。

因此 Hc(α，β)=O(α，β)，证毕。

（2）同理可证。

4 结束语

软集理论与模糊理论的融合近年来受到了大量学者的关注。多值直觉模糊集是近期才提出的一种对直觉模糊集的拓展，其描述信息不完全问题时的能力更强。本文在多值直觉模糊集和软集的基础上提出了多值直觉模糊软集的概念，并给出了相关的运算及其性质。这些研究扩充了处理不确定性理论问题的方法，在处理某些多参数模糊信息时优于传统的直觉模糊软集。

[1]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computer and Mathematics with Applications，1999，37（4）：9-31.

[2]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Fuzzy soft sets[J].Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589-602.

[3]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications，2003，45（4）：555-562.

[4]Maji P K，Biswas R，Roy A R.An application of soft setsin a decision making problem[J].Computersand Mathematics with Applications，2002，44（8/9）：1077-1083.

[5]Zou Y，Xiao Z.Data analysis approaches of soft sets under incomplete information[J].Knowledge-Based Syst，2008，21（8）：941-945.

[6]Xiao Z，Gong K，Zou Y.A combined forecasting approach based on fuzzy soft sets[J].Computers and Mathematics with Applications，2009，228（1）：326-333.

[7]Das P K，Borgohain R.An application of fuzzy soft set in multicriteria decision making problem[J].International Journal of Computer Applications，2012，38.

[8]Feng F，Liu X Y.Soft sets and soft rough sets[J].Information Sciences，2011，181（2）：1125-1137.

[9]Jiang Y，Tang Y，Chen Q，et al.Interval-valued intuitionistic fuzzy softsetsand theirproperties[J].Computersand Mathematics with Applications，2010，60（3）：906-918.

[10]杨文华，李生刚.双极值模糊软集[J].计算机工程与应用，2012，48（35）：15-18.

[11]Sulaiman N H，Mohamad D.Multi-aspect fuzzy soft sets and their properties[J].Applied Mathematical Sciences，2012，6（115）：5709-5718.

[12]Zhang Z，Zhang S.A novel approach to multi attribute group decision making based on trapezoidalinterval type-2 fuzzy soft sets[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37（7）：4948-4971.

[13]Babitha K V，Sunil J J.Generalized intuitionistic fuzzy soft sets and its applications[J].Gen Math Notes，2011，7（2）：1-14.

[14]张善文，李晓曼，雷英杰.多值直觉模糊集定义[J].计算机科学，2008，35（1）：176-177.

[15]Sebastian S，Ramakrishnan T V.Multi-fuzzy sets：an extension of fuzzy sets[J].Fuzzy Information，2011，11（1）：35-43.

[16]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20：87-96.

[17]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Intuitionistic fuzzy soft sets[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：677-693.

[18]Jiang Y C，Tang Y，Chen Q M.An adjustable approach to intuitionistic fuzzy soft sets based decision making[J]. Applied Mathematical Modeling，2011，35：824-836.

JIANG Lihui1,CHEN Huayou2,DING Fangqing1,ZHAO Juan1

1.Department of Mathematics and Physics,Hefei University,Hefei 230601,China
2.School of Mathematical Science,Anhui University,Hefei 230601,China

In this paper,the notion of multi-intuitionistic fuzzy soft sets is proposed by combining the multi-intuitionistic fuzzy sets and soft sets.The complement,union,intersection,“and”,“or”operations are defined on the multi-intuitionistic fuzzy soft sets.The basic properties of multi-intuitionistic fuzzy soft sets are also presented and discussed.

fuzzy soft sets;multi-fuzzy sets;multi-intuitionistic fuzzy soft sets

将多值直觉模糊集和软集相结合，提出了多值直觉模糊软集的概念。给出了多值直觉模糊软集的补、交、并、“且”、“或”运算的概念，并基于这些概念研究了若干性质。

模糊软集；多值模糊集；多值直觉模糊软集

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0197

JIANG Lihui,CHEN Huayou,DING Fangqing,et al.Multi-intuitionistic fuzzy soft sets.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：114-117.

国家自然科学基金（No.71371011，No.71301001）；安徽省高校自然科学基金（No.KJ2013B234）；国家大学生创新项目（No.201211059017，No.201311059001）；合肥学院重点建设学科（No.2014xk08）。

江立辉（1980—），男，讲师，研究方向为预测与决策分析；陈华友（1969—），男，博士，教授，研究方向为预测和决策分析；丁芳清（1965—），女，副教授，研究方向为概率统计；赵娟（1981—），女，副教授，研究方向为预测与决策分析。E-mail：13866768477@139.com

2014-06-16

2014-09-12

1002-8331（2014）23-0114-04

CNKI网络优先出版：2014-09-18,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0197.html