巧用速率－时间图像 妙解两道高考题

潘华君 夏 云

（1.江苏省宜兴第一中学，江苏 宜兴 214206；2.江苏省宜兴市湖滨实验学校，江苏 宜兴 214206）

v-t图像是每年各地高考卷中的“常青树”，一般以“读图”和“画图”为两种基本考查方式，注重“形”与“境”之间的联想，即给出确定的v-t图像，考查能否清楚地理解“点”、“线”、“面”的物理意义，或是考查能否由物理图像还原真实的运动情境；根据试题的文字表述，通过对物理过程进行定性或定量的分析，画出或选出相应的v-t图像，重在考查图像转换的能力和过程分析的能力.而在2014年的高考中，有关“速度－时间图像”的问题，除了以上两类外，还出现了利用速度－时间图像的延伸——速率－时间图像的问题，将命题落脚点落在“用”字上，现采撷两例，加以赏析.

1 用速率图像妙解分段直线运动问题

图1

例1.（2014年上海高考题）如图1，竖直平面内的轨道Ⅰ和Ⅱ都由两段细直杆连接而成，两轨道长度相等.用相同的水平恒力将穿在轨道最低点B的静止小球，分别沿Ⅰ和Ⅱ推至最高点A，所需时间分别为t1、t2；动能增量分别为ΔEk1、ΔEk2，假定球在经过轨道转折点前后速度大小不变，且球与Ⅰ、Ⅱ轨道间的动摩擦因数相等，则

（A）ΔEk1＞ΔEk2，t1＞t2. （B）ΔEk1＝ΔEk2，t1＞t2.

（C）ΔEk1＞ΔEk2，t1＜t2. （D）ΔEk1＝ΔEk2，t1＜t2.

评析：本题将力的分析、运动过程的分析、功的分析、功能关系应用以及速率－时间图像的应用糅合在一起，是一道能很好考查学生的物理基础知识的理解、基本方法的应用等能力的好题.同时，本题也是传统试题的延伸，将“由A→B的自由下滑”的典型问题改为“B→A的外力控制”的新颖题，从而加大了试题对学生的思维要求，具有较好的区分度.

图2

对小球受力分析知，小球受重力、弹力、摩擦力和水平恒力.从做功角度看，水平拉力为恒力，且水平位移相同，所以两次拉力做功相等.取某段直线运动分析，摩擦力做功为W＝－μ（mgcosθ＋Fsinθ）·L＝－μmgx水平－μFy竖直，其中θ角为斜面与水平面间的夹角.由此可知，摩擦力做功与斜面倾角无关，只与初末位置间水平分位移及竖直分位移有关，由于先后两次总的水平分位移和竖直分位移均相等，则先后两次摩擦力做功相同，两过程中重力做功也相同，且弹力均不做功，则根据动能定理可知，两球到达A点时的速率相同，动能相等.依据初、末速率相等和路程相等，同时根据图1上轨道的对称特点，可定性认为小球在轨道上一直做加速运动.画出速率随时间变化的图像如图2，可知沿Ⅱ轨道运动的小球先到达.故本题正确选项为（B）.

2 用速率图像妙解一般曲线运动问题

图3

例2.（2014年安徽高考题）如图3所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线.已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2.则

（A）v1＝v2，t1＞t2. （B）v1＜v2，t1＞t2.

（C）v1＝v2，t1＜t2. （D）v1＜v2，t1＜t2.

图4

评析：本题以曲线运动为背景，考查的是机械能守恒定律和速率－时间图像的应用，是传统“圆－球模型”的拓展.小球在运动过程中机械能守恒，故先后两次到N点处速率相同；过程中，小球重力沿轨道切线方向的分力提供切向加速度从而改变速率，则mgsinθ＝ma，即加速度与θ角有关，同时依据初、末速率相等、路程相等以及加速度变化的规律，定性作出速率－时间图像，如图4所示，故本题正确选项为（A）.

利用速率－时间图像解答问题，其关键有3点：（1）注重过程中受力分析，定性或利用牛顿第二定律定量得出加速度的变化情况，而这一情况又直接反映为速率－时间图像上斜率的变化；（2）注重初、末速率的分析，这一情况直接影响着图线的起始点和回归点；（3）明确速率－时间图像上，图线和时间轴包含的面积表示为路程.从上述两道例题看，利用速率－时间图像解答，可以简化解题过程，使物理意义更清晰、更可视化，相比繁琐的数学计算，图像法确有令人“豁然开朗”、“妙笔生花”之感.