基于三维破坏机制的浅埋硐室塌落面上限分析

黄 阜，周 凯，凌同华

（1.长沙理工大学土木与建筑学院，湖南长沙 410004；2.长沙理工大学桥梁工程安全控制省部共建教育部重点实验室，湖南长沙 410004）

随着中国城市化进程的加速，大量人口向城市聚集，造成城市人口密度日益增大，建设用地越来越紧张。为了解决这一问题，地下空间的开发与利用得到了各级规划部门的广泛重视，越来越多的浅埋地下建筑也出现在市政建设中。由于这些浅埋地下结构上部覆盖的土体很薄，在开挖过程中易出现由支护措施不当导致的地表塌陷。因此，浅埋硐室的稳定性问题引起了许多学者的关注。杨峰［1］等人利用极限分析上限有限元理论，建立了粘性土地层不排水条件下浅埋隧道的稳定性分析模型，绘制了浅埋隧道发生破坏时的速度场，得到了浅埋隧道极限状态下的破坏模式。张成平［2］等人基于普氏平衡拱理论，通过对浅埋暗挖隧道施工引起的地表塌陷进行深入分析，揭示了地表塌陷的发生机理，并结合地层条件和施工情况得出了诱发地表塌陷的原因。针对软岩浅埋大跨隧道开挖易导致地表建筑发生过大沉降，覃卫民［3］等人采用数值模拟与现场监测相结合的方法，对隧道开挖过程中地表建筑的安全性进行了全面、深入的研究。黄阜［4］等人根据土体的非线性破坏特征，构建了浅埋硐室拱顶围岩的曲线形破坏机制，将孔隙水压力所做的功率作为一个外力功率引入极限分析上限定理的虚功率方程中，得到了孔隙水压力作用下浅埋硐室顶部塌落面的上限方程，并分析了孔隙水压力对浅埋硐室塌落面的影响。这些针对浅埋硐室稳定性的研究均采用的是二维平面分析方法。而在实际工程中，岩体的破坏过程是一个三维演化过程，二维平面分析仅能反映围岩破坏面的二维尺寸，无法真实地表现实际工程中的三维破坏特征。因此，针对岩土工程中二维分析方法的缺陷，许多学者开始运用三维分析方法来对各种岩土工程问题进行研究。Lam［5］等人将基于极限平衡法的二维边坡模型拓展成了一种三维模型，并采用三维有限元方法，研究了这个模型的柱间应力函数，得到了该三维计算模型的安全系数。Anagnostou［6］等人构筑了一种土压盾构隧道开挖面的三维滑动机制，采用极限平衡法，研究了排水条件下隧道开挖面的稳定性。基于极限分析上限定理，Leca［7］等人提出了经典的浅埋隧道开挖面的三维圆锥体型破坏机制。这种破坏机制不但清晰地描述了浅埋隧道开挖面的破坏形式，而且为浅埋隧道开挖面支护力提供了精确的上限解。

考虑到三维分析方法有诸多的优点，作者拟构建一种浅埋硐室顶部围岩的三维旋转体形破坏机制，根据极限分析上限定理中内能耗散功率和外力功率计算，得到包含该三维破坏面方程的目标函数，然后利用变分法推导出浅埋硐室顶部围岩塌落体曲面方程的上限解，以期为浅埋硐室顶部围岩潜在塌方范围的预测提供理论依据。

1 极限分析上限定理

极限分析上限定理［8］可以表述为：在一个假设满足速度边界条件和应变与速度相容条件的机动许可速度场中，荷载Ti和Xi均大于或等于真实的极限荷载，并由虚功率方程确定。

2 Hoek－Brown非线性破坏准则

根据极限分析上限定理，在地下硐室围岩的破坏机制中，由于塌落体与围岩产生了相对滑移，造成了塌落面上的速度不连续，因而该塌落面也可称为速度间断面。Fraldi［9］等人的研究成果表明，速度间断面上，任一点的内能耗散功率可由切向应力产生的耗散功率和法向应力产生的耗散功率迭加得到。因此，本研究采用由主应力和切应力表示的Hoek－Brown破坏准则来计算速度间断面上的内能耗散功率。由主应力和切应力表示的Hoek－Brown破坏准则［10］为：

式中：A和B均为无量纲的材料参数；τ为切应力；σn为有效主应力；σci为岩体的单轴抗压强度；σtm为岩体拉伸强度。

3 浅埋硐室顶部围岩三维塌落体上限分析

3.1 浅埋硐室顶部围岩塌落体三维破坏机制

Fraldi［9］等人提出了一种由任意曲线构成的曲线形深埋隧道顶部围岩二维破坏机制。由于这种破坏机制很好地反映了岩土体的非线性破坏特性，而且推导出的塌落面形状与实际工程中发生的塌落面形状十分吻合，因而在隧道围岩塌落面研究中得到了广泛的应用［11－12］。但是，这种二维破坏机制仅能反映塌落面的宽度和高度，不能真实地反映塌落面的三维尺寸，因而在地下结构拱顶围岩塌落范围的研究中存在着一定的不足。基于这个原因，作者拟将Fraldi［9］等人提出的二维破坏机制扩展到三维空间中，构建一种三维破坏机制来描述浅埋矩形硐室顶部围岩的破坏模式。该三维破坏机制的构建过程为：假设矩形硐室顶部有两条关于z轴对称的速度间断线沿曲线f（x）延伸到地表，构成了一个上窄下宽的塌落面；然后令f（x）绕z轴旋转360°，形成了一个“倒漏斗”型塌落体；这个塌落体由半径分别为L1和L2的圆和以f（x）为母线的旋转曲面组成。由此塌落体的构建过程可知，该塌落体的体积和侧面积均采用解析数学方法求出。因此，在极限分析上限定理的能耗计算中，可根据塌落体的体积和侧面积，计算出该三维破坏机制的外力功率和内能耗散功率。

图1 浅埋硐室顶部围岩塌落体的三维破坏模式Fig.1 Three－dimensional failure mechanism of rock mass above shallow cavity

3.2 基于三维破坏机制的浅埋硐室能耗计算

将由切向应力产生的耗散功率和法向应力产生的耗散功率进行迭加，三维塌落体外表面上任意一点的耗散功率［9］为：

将式（3）沿着整个塌落体侧面积进行分解，可以得到塌落体侧表面上由切向应力和法向应力产生的耗散功率。

在速度场中，重力功率由塌落体体积求得。

式中：γ为岩体的容重，kN／m3。

隧道支护力q的功率为：

与深埋隧道不同，由于浅埋隧道的破坏面延伸到了地面，地表荷载会对破坏面的形状产生重大的影响，因此，在对浅埋隧道破坏面进行研究时，必须考虑地表荷载的功率Pσs。该功率可根据塌落体延伸到地表的面积和地表荷载σs求出。

为了求出塌落体表达式的上限解，利用耗散功率和外力功率之差，构建了一个包含曲线f（x）的目标函数ξ。

将PD，Pγ，Pq和Pσs的表达式代入式（8），可得：

式（10）为一个常系数非齐次二阶线性微分方程，可采用解析方法求出f（x）的解析式。

将式（11）代回式（10），可求出泛函ψ的极值。

将式（12）代入式（9）中，得到目标函数：

对于浅埋隧道来说，埋深H是已知的。由于塌落体都延伸到地表，因此根据图1所示的几何条件，可得：

将式（11）代入式（14），得：

根据极限分析上限定理，塌落面上的耗散功率等于总外力功率，即ξ＝0，可以得到另外一个关于L1和L2等式：

联立式（15）和（16），得到了一个关于L1和L2的非线性方程组。采用数值方法，可以解出关于L1和L2的数值解。将L1和L2代回式（11）后，得到了f（x）绕z轴旋转的曲面方程：

根据该曲面方程，利用数值软件Matlab中的三维绘图命令，即可绘制出浅埋硐室顶部围岩塌落体的三维形状。

4 不同参数对浅埋硐室顶部塌落体形状的影响

为了分析不同参数对浅埋硐室顶部围岩塌落体形状的影响，根据旋转体曲面方程的表达式，绘制了当参数分别为A＝0.35，0.5和2／3，B＝0.5，0.6和q＝0，10和20kPa，σs＝0，50和100kPa，H＝10m时，隧道塌落体的三维形状，分别如图2～7所示。

图2 不同的B时，浅埋硐室顶部塌落体的形状Fig.2 Effect of values of the parameter Bon the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

图3 不同的A时，浅埋硐室顶部塌落体的形状Fig.3 Effect of values of the parameter Aon the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

从图2～7中可以看出，浅埋隧道顶部围岩的塌落体为一个由曲线f（x）绕z轴旋转得到的旋转体，其形状类似于一个上窄下宽的倒置“漏斗”。在Hoek－Brown破坏准则中，参数A，B，σtm及γ均对隧道顶部塌落体的形状和塌落范围有较大的影响；随着参数A和σtm的减小，塌落体的上、下底面半径L1和L2均减小，塌落体的体积相应地减小；与此相反，随参数B和γ的增大，塌落体的上、下底面半径L1和L2均减小，塌落体的体积相应地减小。另一方面，由于浅埋隧道的塌落体延伸到了地表，因此地表荷载σs对塌落体形状也产生了较大的影响，塌落体的体积随地表荷载σs的增大而增大，随支护力q的增大而减小。因此，对于浅埋隧道而言，当地表荷载较小而支护力较大时，隧道顶部围岩的塌落范围减小，有利于隧道的稳定。

图7 不同的σs时，浅埋硐室顶部塌落体的形状Fig.7 Effect of values of the parameterσson the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

5 结论

1）根据极限分析上限定理和Hoek－Brown非线性破坏准则，构建了浅埋硐室顶部围岩塌方的三维破坏机制。采用能耗计算和变分法，绘制出了浅埋硐室顶部围岩塌落体的三维图像。研究成果可以为浅埋硐室顶部围岩潜在塌落范围研究提供理论依据。

2）岩体参数A，B，σtm及γ均对隧道顶部塌落体的形状和塌落范围有较大的影响；随着A和σtm的减小、B和γ的增大，塌落体体积减小。因此，较小的A和σtm及较大的B和γ使得地下硐室顶部围岩的潜在塌落范围减小，有利于硐室稳定性的提高。

3）当地表荷载σs较大且支护力q较小时，隧道顶部围岩的塌落范围较大，对于浅埋硐室的稳定较为不利。因此，在地表建筑物较多、地表荷载较大的城市中心地带修建地下硐室时，需要采用强度更高的支护结构，以降低地下硐室的顶部围岩发生垮塌的风险。

（References）：

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