应用微积分推导中学物理运动学公式

姜宗祎

(东港市第二中学 辽宁 丹东 118300)

在高中物理教学中，若能初步学会运用微积分公式来处理物理问题，定能加深对物理概念的理解，使物理思维达到新的飞跃，下面我们对高中物理教材中，匀变速直线运动、变加速曲线运动(匀速圆周运动)、匀变速曲线运动(平抛运动)3种常见的运动形式的运动学规律进行推导.

1 直线运动中的速度 加速度

设质点A呈一维运动，t时刻位于x(t)处，经过Δt时间后位于x(t+Δt)处，则定义质点A在Δt时间内的平均速度为

平均速度粗略地表示了在该段时间内质点运动的快慢情况.

质点A在t时刻的瞬时速度(简称速度)为

同理，定义t时刻到t+Δt时刻之间的平均加速度为

平均加速度粗略地表示了在该段时间内物体速度的变化情况.如果Δt越小，该段时间内速度的波动就越小，描述的速度变化情况也就越精细，从而定义质点A在t时刻的瞬时加速度为

2 匀变速直线运动方程

2.1 速度时间方程

即

v-v0=at

v=v0+at

2.2 位移时间方程

即

2.3 位移速度方程

把加速度恒等变形得

由初始条件，当t=0时，x=x0，v=v0，分离变量等式两侧积分得

即

3 曲线运动中的切向加速度 法向加速度

以变速圆周运动为例，如图1所示[1].

图1

质点P做变速圆周运动，在自然坐标系中，n为法向单位变矢量，τ，τ1，τ2为切向单位变矢量，其中

|n|=|τ|=|τ1|=|τ2|=1

如图1所示，当时间趋近零时Δθ角所对应的弧长1·Δθ和弦长|Δτ|近似相等，矢量Δτ方向指向圆心，即与矢量n方向相同，其中

所以

切向加速度为

法向加速度为

对于匀速圆周运动

即为高中物理中向心加速度表达式.

4 平抛运动方程

已知，平抛运动水平初速度为v0，加速度为g，求平抛运动运动方程.如图2所示，在直角坐标系中，单位矢量为i，j.

OP位置矢量为r=xi+yj

图2

分离变量，由初始条件，当t=0时，x=x0，等式两侧积分得

x=x0+v0t

分离变量，等式两侧积分得

则vy=gt， 所以平抛运动速度大小随时间关系表达式为

分离变量，由初始条件，当t=0时，y=y0，等式两侧积分得

即

如图2所示,x0=y0=0 所以平抛运动位移大小随时间关系表达式为

5 结论

通过对以上3种运动形式分析，用微积分公式得到的运动学方程与高中物理课本相一致，笔者认为，利用微积分公式处理运动学问题，一方面使问题得到了简化，另一方面可以使教师更深刻地理解物理概念和物理规律，提高自身的教学能力.

参考文献

1 张铁强.大学物理学(上册).第一版.北京：高等教育出版社,2007.1～20