一类三维动力系统的分岔及混沌分析

张宇功，范学良，王碧轩

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

一类三维动力系统的分岔及混沌分析

张宇功，范学良，王碧轩

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

对一类三维非线性混沌金融系统进行了动力学特征分析，得到了模型方程的三个平衡点，并对其稳定性进行了讨论．通过数值仿真得到了系统的分岔图及Lyapunov指数图，进而分析了参数变化对系统稳定性及分岔的影响．该研究对理解各种金融政策的杠杆原理有参考意义．

金融系统；稳定性；分岔；混沌；Lyapunov指数；数值仿真

社会经济在运行过程中具有不稳定性和复杂性，有时外界条件的微小变化都会引起整个经济系统的动荡．在社会经济领域中，由于非线性因素的相互作用，各种问题日趋复杂化，系统的内在结构也呈现出多样性和复杂性[1-2]．金融系统是一个复杂的非线性系统，金融危机是该系统产生的一种混沌现象．进入20世纪90年代以来，世界性金融危机不断爆发，面对金融危机时, 各国政府都会采取诸如财经政策或金融政策等宏观调控手段来进行调控，以使其金融市场恢复正常的经济秩序，但干预的有效性十分有限[3-4]．金融系统的不稳定性和复杂性使精确的经济预测受到很大限制，合理的预期行为也变得复杂起来[5-6]，因此，有必要对这类复杂的经济系统的内在结构特征进行系统的研究．通过研究系统周期解的失稳、分岔、倍周期分岔、各分岔点值的位置及复杂系统进人混沌的道路等，可以揭示复杂现象发生的原因，对复杂连续经济系统的分析、预测与控制有指导意义。本文以一类三维非线性的混沌金融系统为研究对象，根据模型方程得到了系统的三个平衡点，并对其稳定性进行了分析；通过数值仿真得到了系统的分岔图及Lyapunov指数图，进而分析了参数变化对系统稳定性及分岔的影响，对理解各种金融政策的杠杆原理有参考作用．

1 系统模型

文献[7]和文獻[8]中建立了一个由生产子块、货币证券子块和劳动力子块所组成的三维混沌金融系统模型[9]：

式中，x表示利率，y表示投资需求，z表示价格指数，a为储蓄量，b为投资成本，c为商品需求弹性．

通过稳定性理论研究的方法，令系统（1）的左边微分项为零，可得：

2 数值仿真

取参数a=0.9，b=0.2，c=1.2，初值分别取(3,1,5)和(3.1,1.1,5.1)，利用Matlab软件进行仿真，可得金融动力系统（1）的时间响应图，见图1．

图1 初值分别为 (3, 1, 5) 和 (3.1, 1.1, 5.1) 时系统 (1) 的时间响应图 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

从图1可以看出，若系统初始条件有微小差异，随着时间的延长，图中两条重合的曲线会逐渐变成两条分开的曲线，这说明三维动力系统的混沌行为越来越突出．通过系统的相图（见图2）也可以看出，随着时间延长，系统的混沌现象也越发明显．通过系统在x-z平面的投影相图及庞加莱截面图（见图3）也可以看出系统出现了混沌现象．

图2 初值为 (3, 1, 5) 时系统 (1) 的相图 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

图3 初值为 (3, 1, 5) 时系统 (1 )的投影相图及庞加莱截面图 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

下面将通过系统的相图来研究系统中储蓄量a对系统的影响．令b=0.2，c=1.2，初值取(3,1,5)，a取不同值时系统的相图见图4．

图4 初值为 (3, 1, 5), a取不同值时系统 (1) 的相图

由图4可知，a越小，系统的波动性越大，a过于小时还会导致系统产生混沌的局面，但a也不能太大，否则，将会使经济缺乏活力．

Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率．我们知道稳定系统的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果越来越远离平衡点，系统是不稳定的，就可能出现分岔及混沌现象．判断一个非线性系统是否存在混沌运动，可以计算它的Lyapunov指数λ是否为正值，因为一个正的Lyapunov指数意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象．

下面用Lyapunov指数图谱及分岔图来刻画系统出现分岔及混沌现象的发生．当a=0.9，b=0.2，初值为(3,1,5)时，需求弹性即参数c对系统的影响见图5和图6．由图5和图6可知，系统在c=0.86时进入混沌现象，在c=1.313时由混沌现象进入三周期运动，在c=1.59时从三周期运动进入混沌状态，在c=1.92时从混沌现象又进入一周期运动．

图5 初值为(3, 1, 5)时系统(1)的分岔图(a = 0.9, b = 0.2)

图6 初值为(3, 1, 5)时系统(1)的Lyapunov指数图(a = 0.9, b = 0.2)

3 结 语

从上述理论分析及数值模拟结果可知，系统中各参数不合适的组合是引起经济系统出现混沌的根源，它有可能使系统趋向混沌而失控，也有可能使系统陷于停滞僵化的状态．因此，无论在严重的通货膨胀时期，还是在经济萧条时期，转换机制、调整结构，永远是金融系统改革的首要任务．本文的理论分析及数值可为决策机构提供调控的理论依据，具有一定的实际意义．

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[4] China A, Llibre. Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector field in the place [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1990, 47(4): 420-448.

[5] Ömer Morgül. Necessary condition for observer-based chaos synchronization [J]. Physical Review Letters, 1999, 82(9): 77-80.

[6] 杨小京. 一类平面齐次多项式系统的局部相图[J]. 系统科学与数学, 1999, 19(4): l50-156.

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[8] 马海军, 陈予恕. 一类金融系统分岔混沌拓扑结构与全局复杂性研: II [J]. 应用数学与力学, 2001, 22(11): 1236-1241.

[9] 黄登仕, 李后强. 非线性经济学的理论和方法[M]. 成都: 四川大学出版社, 1993: 55-60.

Analysis on Bifurcation and Chaos For A-Class Three-Dimensional Dynamical System

ZHANG Yugong, FAN Xueliang, WANG Bixuan
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The paper gives three equilibrium points of the model equation and probes into its stability through the analysis on the dynamical characteristics of a-class three-dimensional nonlinear chaotic financial systems. Meanwhile, the bifurcation diagrams and Lyapunov exponent graphs are simulated by Matlab and then the impact on stability and bifurcation of the system is analyzed based on different parameters. This research provides certain significance to understanding the lever principle of the various financial policies.

Financial System; Stability; Bifurcation; Chaos; Lyapunov Exponent; Numerical Simulation

O193

A

1674-3563(2014)04-0032-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.005 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-11-26

张宇功(1987- )，男，甘肃兰州人，硕士研究生，研究方向：运筹学与控制论