初中数学函数思想与方程思想的转化

【摘 要】函数思想、方程思想贯穿整个初中数学的教与学，若我们能熟练地对这两种数学思想进行恰当转化，就会收到事半功倍的效果。本文通过分析具体案例着重探讨了初中数学中函数思想与方程思想转化的问题，希望能为数学教学提供有益参考。

【关键词】初中数学 函数思想 方程思想

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相关概念解析

函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的等量关系，建立函数关系，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题的目的。

方程思想是以数量关系为切入点，用数学语言把问题转化为数学模型——方程、方程组，通过求解方程、方程组转化问题。

虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但是这两种数学思想却有着密切的联系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函数y=ax2+bx+c当函数值为0时自变量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的个数就是求函数y=ax2+bx+c与函数y=dx+e图像交点的横坐标或交点的个数。这种紧密的关系为函数思想与方程思想在初中数学中的相互转化提供了物质条件。

二 用函数思想解决方程问题

通过一个例题两种不同解析方法的对比来体会用函数思想解决方程问题是否具有优越性。

一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m为何值时，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一负根？

方法一用韦达定理解析：因为该方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，

即m≤ 或m≥ 。

设x1<1，x2>1，则x1-1<0，x2-1>0则（x1-1）（x2-1）<0，也就是x1x2-（x1+x2）+1<0。

根据韦达定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，则有（m+2）+2（m-1）+1<0，解得m<-1/3。

设x1<0，x2>0，则x1x2<0，根据韦达定理x1x2=c/a，则有m+2<0，解得m<-2。

方法二用函数思想解析：将一元二次方程左边看成是一个二次函数f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函数f（x）=0中自变量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）这条开口向上的抛物线与x轴的交点。所以只需x=1时，f（x）<0。

则有1+2（m-1）+（m+2）<0，解得m<-1/3。

将一元二次方程左边看成是一个二次函数f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函数f（x）=0中自变量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）这条开口向上的抛物线与x轴的交点。所以只需x=0时，f（x）<0。

则有m+2<0，解得m<-2。

从两种解析方法的比较中，不难看出：对于（1）的解析中运用函数思想解决方程问题可以大大减轻计算量，使复杂问题简单化；对于（2）的解析中运用函数思想解决方程问题并没有表现出很明显的简化效果。所以，解决方程问题我们要灵活把握，具体问题具体分析，本着化繁为简的原则选择合适的数学思想进行解题。

三 用方程思想解决函数问题

周末王芳骑自行车和小伙伴一起到郊外游玩。她从家出发后2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，王芳离家4小时40分钟后，爸爸开车沿相同路线迎接王芳，如图是他们离家的路程y（千米）与时间x（小时）的函数图像。已知王芳骑车的速度为15千米/时，爸爸开车的速度为60千米/时。王芳家与游玩

地的距离是多少？爸爸出发

多长时间与王芳相遇？

根据题意可知王芳骑自

行车的速度为15千米/时，

而她到达游玩地所用时间是2小时，所以王芳家与游玩地的距离是15千米/时×2小时=30千米。

设爸爸出发后x小时与王芳相遇，根据题意，在王芳原路返回前20分钟即1/3小时，爸爸开车出发，爸爸开车的速度为60千米/时，王芳骑车的速度为15千米/时，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。

所以爸爸出发后7/15小时即爸爸出发后28分钟与王芳相遇。

对于本题的解答，我们不能想当然地看到函数图像就试图求出函数的解析式。采用方程思想进行解答是把复杂的函数问题变成了简单的一元一次方程问题和相遇问题，这样大大降低了解题的难度。由此类行程问题看，函数思想和方程思想是一致的，它们都是以实际问题中的数量关系为切入点。而从难易程度上来说，方程思想更有利于学生接受。

在初中数学问题中，还有很多可以采用方程思想与函数思想互换方式解决的题型，我们只是希望通过本文的分析对转化思想起到抛砖引玉的作用。希望在以后的数学教学中，能恰当地转化思维解决复杂问题。

参考文献

[1]柳晓燕.数学思想在初中数学应用题中的应用分析[J].中学时代，2013（14）

[2]马新良.在初中数学教学中渗透数学思想方法[J].理科考试研究，2014（14）

[3]周伟扬.第七讲 专题复习精讲 方程思想和函数思想专题精讲[J].中学生数理化（初中版·中考版），2010（6）

〔责任编辑：林劲〕