方程（组）解法探讨

【摘 要】中学数学教学中，方程（组）思想的运用非常重要。本文通过实例，对形如x f（x）=xg（x）指数方程解法中的常见错误，进行深入的剖析。

【关键词】指数方程 解法 剖析 优化 提高

【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0139-02

方程（组）的思想，是对一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组或利用方程的性质去分析、转换、解决问题，是高中数学教学中最重要的思想方法之一。解指数方程是指数函数性质的重要应用。高中课本中，指数方程中的底数均是大于0且不等1的常数。而形如x f（x）=xg（x）的方程，虽然也可以叫作指数方程，但因底数不是常数，极易导致解题失误。

一 常见错误剖析

不少学生在解方程xx=x时，常出现以下两种典型错误：错解1：原方程即为xx=x1。由“同底法”得，x=1。错解2：原方程两边取对数，得：x·lgx=lgx，即（x-1）lgx=0。解之得，x=1。

显然，x=-1也是方程xx=x的解，那么，以上两种解法漏解的原因在哪里呢？

“同底法”的依据是由指数函数y=ax（a>0且a≠1）的单调性可知：若ax1=ax2，则x1=x2，而方程xx=x中的底数x是一个变量，解法1用“同底法”势必缩小了x的取值范围，当然就有失根的可能了。

“两边取对数”的条件是“两边”均要大于0，而xx=x的两边可以小于0，解法2“取对数”后就会失根。

二 严谨可靠的解法

部分同学用观察法得方程xx=x的解为x=1或x=-1，结论正确，但对稍复杂的方程x f（x）=xg（x），观察法就不那么灵验了。因此，在组织教学时要力求做到深入浅出，各得其所，使学生既不轻视容易，又不害怕困难。如何能做到这一点呢？这就需要寻求解此类方程的有效方法。

事实上，从以上错解分析中，我们已经领悟到解此类方程可用分类讨论的方法。为把这一方法阐释清楚，现举以下例子加以说明。

例1，解方程xx=x

解：显然x≠0。

当x>0时，若x=1，代入原方程，知x=1是原方程的解；若x≠1，由xx=x1得x=1（舍去）。

当x<0时，若x=-1，代入原方程，知x=-1是原方程的解；若x≠-1，由xx=x1得x=1（舍去）。

综上，原方程的解是x=1或x=-1。

例2，解方程xx2+4x+3=xx+1。

解：当x>0时，若x=1，代入原方程，知x=1是原方程的解；若x≠1，由x2+4x+3=x+1得x=-1或x=-2，均舍去。

当x=0时，代入原方程，知x=0是原方程的解。

当x<0时，若x=-1，代入原方程，知x=-1是原方程的解；若x≠-1，由x2+4x+3=x+1得x=-1或x=-2，经检验x=-2是原方程的解。

综上，原方程的解为x1=0，x2=1，x3=-1，x4=-2。

由此可见，根据底数x的不同取值，用分类讨论的方法解方程x f（x）=xg（x），不会失根，这是一个严谨而又可靠的解法。

三 解题过程的优化

虽说我们已经找到了解方程x f（x）=xg（x）的有效方法，但解题过程比较麻烦，能简捷些吗？

进一步探讨，再看以上二例的解题过程，我们发现当x>0且x≠1和x<0且x≠-1时，方程x f（x）=xg（x）的解一定在方程f（x）=g（x）的解集中，因此，可将解题过程浓缩为两步：（1）解方程f（x）=g（x）（注意验根，防止增根）；（2）检验三个特殊数0、1、-1是不是原方程的根。显然这样做，比原解题过程简单多了，现举例说明如下：

例3，解方程 。

解：由方程 ，两边平方后，可简化为16x2+

18x+5=0，解之得 和 。代入原方程检验，知均

为增根；以x=0、x=1、x=-1代入原方程，知x=0、x=1是原方程的解。

所以，原方程的解为x=0和x=1。

例4，解方程 。

解：原方程可简化为 。

根据前面结论，得 ，根据对数函数性质和

绝对值性质得2-x= 或2-x= ，进一步解之，得

x=2+ 或x=2+ ，经检验它们都是原方程的根；

以x1=0、x2=1、x3=-1代入原方程，知x=0和x=1是原方程的根。

所以，原方程的解为x1=0、x2=1、x3=2+ ，x4=2+

。

例5，解方程 。

解：原方程可化为 。

解方程 ，得知x= （3± ）是原方程的解；

以x=0、x=1、x=-1代入原方程，知x=0和x=1是原方程的解；

所以，原方程的解为x1=0，x2=1，x3= （3+ ），

x4= （3- ）。

通过前面一些例题解法的探讨，我们已对形如x f（x）=xg（x）的方程此类问题的解题方法作一归纳，并总结出了防止出现增根或失根的原因。作为教师，在数学教学中，必须抓住知识点的运用，有的放矢，适时点拔和启发，用尝试、探索等数学思想方法研究常见指数方程的求解，积极引导学生主动参与课堂教学，大胆探究、发现规律、掌握正确的解题方法，同时还要注意验根，防止出现增根或失根现象，增强学生的探究能力和学习数学的兴趣，使浅显平淡的知识有创新意识、有韵味，使不同层次的学生都有收获。

参考文献

[1]郑毓信.数学思想、数学活动与小学数学教学[J].课程·教材·教法，2008（5）

〔责任编辑：林劲〕